МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Варвара Алексеевна Косоротова
2010/2011 учебный год

Занятие 21. Вероятность (часть 2)

Математик проходит досмотр в аэропорту. Внезапно в его багаже обнаруживают бомбу. Он объясняет: «Видите ли, вероятность того, что на борту окажется бомба, равна 1/1000. А вероятность того, что в самолёте будут две бомбы, уже 1/1000000. Так что я решил подстраховаться…»

Напоминание c предыдущего занятия
Пространство элементарных исходов Ω (омега) — это набор всех возможных элементарных исходов. Их количество обозначается |Ω|.
Вероятностное событие (или просто событие) — множество A, являющееся подмножеством множества Ω.
Элементарные исходы, входящие в событие А, называются благоприятными для множества A исходами. Их количество обозначается |A|.
Вероятность события A (обозначается P(A)) равна отношению числа благоприятных для события А исходов к общему числу исходов:
P(A) = |A|/|Ω|
Несовместные события: A∩B = ∅ (пустое множество) — события A и B не могут произойти одновременно.
Формула сложения вероятностей: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).
Если A и B несовместны, формула сложения вероятностей упрощается: P(A∪B) = P(A) + P(B).
События A и B называются независимыми, если P(A∩B) = P(A)·P(B).

1.: Случайно и равновероятно выбирается число от 1 до 100. Событие A заключается в том, что это число делится на 2, событие B — в том, что число делится на 3, событие C — что число делится на 5, событие D — что число делится на 6. Какие из этих событий независимы?

Заметим, что пространство элементарных исходов не обязано быть равновероятным. Пример:

2.: Возьмём два игральных кубика и рассмотрим пространство элементарных исходов для суммы очков на выпавших гранях. Какими будут элементарные исходы? Чему равны их вероятности?

Пусть нам даны события A и B (не обязательно независимые). Тогда событие C = A∩B можно представить так: сначала произошло событие A, а затем при условии, что произошло событие A, произошло событие B. Запишем это следующим образом:
P(C) = P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B) (формула умножения вероятностей).
Для независимых событий A и B имеем P(A|B) = P(A), и, как нам уже известно, P(A∩B) = P(A)·P(B).
P(A|B) называется условной вероятностью A при условии B. Из приведённой выше формулы получим:

P(A\|B) =	P(A∩B)
	P(B)

Это интересно: если вспомнить формулу для вычисления вероятности и заметить, что A∩B — это подмножество множества B, то станет ясно, что вероятность события A при условии B — это вероятность события A∩B в пространстве элементарных исходов Ω' = B.

3.

Бросаются две монеты. Вычислить условную вероятность выпадения первой монетки орлом (событие в пространстве элементарных исходов для двух монет) при условии, что вторая выпала решкой?

4.

Найти вероятность того, что сумма чисел, выпавших на двух игральных костях:

а): будет больше 5, при условии, что их произведение равно 8;
b): будет больше 6, при условии, что их произведение равно 8;
c): будет больше 7, при условии, что их произведение равно 12.

5.

Двое играют в русскую рулетку. В барабан шестизарядного револьвера вставлены два патрона подряд. Какова вероятность второго игрока попасть на пустое гнездо (не вращая барабан) при условии, что первый уже нажал на спусковой крючок и выстрела не произошло? Больше она или меньше, чем в случае, если бы второй игрок вращал барабан?

Пусть пространство элементарных исходов разбито на несколько попарно несовместных событий B₁, ..., B_n (т.е. Ω = B₁∪ ... ∪B_n, и B_i∩B_j = ∅ для любых i ≠ j; i, j = 1, ..., n). Тогда для любого события A верна формула полной вероятности:
P(A) = P((A∩B₁)∪...∪(A∩B_n)) = P(A∩B₁) + … + P(A∩B_n) = P(A|B₁)P(B₁) + ... + P(A|B_n)P(B_n).

6.

В первом ящике лежат два белых шара и один чёрный, во втором — один белый и один чёрный. Из первого ящика случайным образом вытаскивается один шар и перекладывается во второй ящик. После этого случайным образом вытаскивается шар из второго ящика. Чему равна вероятность вытащить оттуда чёрный шар?

7.

Миша знает один из десяти экзаменационных билетов. Какова вероятность того, что именно этот билет ему попадётся на экзамене, если Миша тянет билет:

а): первым;
b): последним;
c): шестым?
d): А если Миша знает два билета?

8.

Десять томов Пушкина стоят на полке в случайном порядке, других книг на ней нет. Какова вероятность

а): того, что томá I и II стоят рядом;
b): того, что они стоят рядом, причем том I стоит слева от тома II?

9.

Двое подбрасывают монету. Чему равна вероятность того, что у второго игрока монета упала орлом больше раз, чем у первого, если:

а): каждый из игроков подбросил монету два раза;
b): первый бросил монету пять раз, а второй — четыре раза;
c): первый бросил монету четыре раза, а второй — пять раз?

10*.

Приведите пример трёх событий A, B, C (не забудьте указать пространство элементарных исходов), которые попарно независимы (т.е. любые два из них независимы), однако P(A∩B∩C) ≠ P(A)·P(B)·P(C).