МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 2. Задачи для знакомства

1.

В бассейн размерами 20×100 метров налили 1000000 литров воды. Можно ли в нем устроить соревнования по плаванию?

Ответ Решение

Ответ. Нельзя.

Решение. Вычислим глубину воды в бассейне. Вспомним, что 1 л = 1 дм³ = (0,1 м)³ = 0,001 м³. Значит, в бассейн налили 1000000·0,001 = 1000 м³ воды. Площадь бассейна составляет 20·100 = 2000 м². Следовательно, глубина воды в бассейне равна 1000 м³ : 2000 м² = 0,5 м, и проводить в нем соревнования по плаванию довольно затруднительно.

2.

На сколько частей могут делить плоскость четыре различные прямые? Для каждого возможного случая нарисуйте пример, а невозможность других случаев докажите.

Ответ Решение

Ответ. На 5, 8, 9, 10 или 11.

Решение.

Примеры для возможных случаев изображены на рисунке. При их построении полезно иметь в виду, что количество частей, на которые прямые делят плоскость, тем больше, чем больше эти прямые имеют различных точек пересечения друг с другом (или чем меньше среди этих прямых параллельны друг другу). Это же соображение можно использовать и для доказательства невозможности остальных случаев.

С учетом всего вышесказанного минимально возможное количество частей (а именно пять) получается, когда все четыре прямые параллельны друг другу (см. рис. а). Аналогично, максимальное количество частей (одиннадцать) получается, когда никакие две прямые из четырех не параллельны (см. рис. д). Случаи восьми, девяти и десяти частей получаются, когда есть три параллельные прямые, две пары параллельных прямых и одна пара параллельных прямых соответственно (см. рис. б, в, г). Шесть или семь частей получить невозможно. Если все четыре прямые параллельны, частей будет пять; если же параллельны только три прямые, а четвертая их пересекает, уже получаем восемь частей.

3.

Что больше: ²⁰⁰⁹/₂₀₁₀ или ²⁰¹⁰/₂₀₁₁?

Ответ Решение

Ответ. ²⁰¹⁰/₂₀₁₁ больше.

Решение.

Первый способ. Заметим, что ¹/₂₀₁₁ < ¹/₂₀₁₀ (убедитесь в этом сами). Умножив обе части этого неравенства на -1 (знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется на противоположный!), получим − ¹/₂₀₁₁ > − ¹/₂₀₁₀, откуда 1 − ¹/₂₀₁₁ > 1 − ¹/₂₀₁₀. В левой части последнего неравенства как раз стоит число ²⁰¹⁰/₂₀₁₁, а в правой — число ²⁰⁰⁹/₂₀₁₀.

Второй способ. Найдем разность сравниваемых чисел.

2010	−	2009	=	2010·2010 − 2009·2011	=
2011		2010		2010·2011

=	2010² − (2010 − 1)·(2010 + 1)	=	2010² − (2010² − 1)	=	1	> 0
	2010·2011		2010·2011		2010·2011

(здесь мы воспользовались формулой сокращенного умножения (a − b)·(a + b) = a² − b²). Поэтому ²⁰¹⁰/₂₀₁₁ > ²⁰⁰⁹/₂₀₁₀.

4.

Десятикилограммовый арбуз содержал 99% воды. Потом он усох, и воды в нем стало 98%. Найдите вес арбуза после усыхания.

Ответ Решение

Ответ. 5 кг.

Решение. При усыхании арбуза неизменной остается так называемая сухая масса (часть, не содержащая воды). Первоначально ее масса была равна 1% массы арбуза, то есть 0,1 кг. Такой же она осталась и после усыхания. Только теперь 0,1 кг — это 2%, то есть 1/50, от массы арбуза. Значит, масса всего арбуза стала равна 50·0.1 кг = 5 кг.

5.

Каждый день в 12:00 из Москвы во Владивосток и из Владивостока в Москву отправляется скорый поезд. Поезд идет ровно 7 суток. Пассажир выезжает из Владивостока. Сколько встречных поездов «Москва–Владивосток» он насчитает, пока приедет в Москву?

Примечание: расписание движения поездов дальнего следования на всей территории России привязано к московскому времени.

Ответ Решение

Ответ. 15.

Решение. Изобразим график движения нашего поезда, откладывая расстояние до Москвы по оси x, а время от начала движения — по оси y. Для простоты будем считать, что поезд все время едет с постоянной скоростью и не делает остановок. Получившийся график движения изображен красным цветом на рис. а. Теперь нарисуем график движения какого-нибудь встречного поезда «Москва–Владивосток». Он изображен зеленым цветом на рис. б. Теперь изобразим на одном рисунке графики движения нашего поезда и всех встречных поездов, которые выехали из Москвы не раньше чем за неделю до нашего выезда из Владивостока, но и не позже нашего прибытия в Москву: с другими поездами мы все равно не встретимся. Зеленые графики движения некоторых поездов на рис. в целиком не поместились. Точки пересечения графика движения нашего поезда с другими графиками соответствуют встречам поездов (они обозначены на рис. в синими точками). А этих точек 15 (не забудем про те поезда, которые мы видели на вокзалах во Владивостоке и Москве).

6.

На чаепитие собралось 25 ребят. Каждый принес по два пирожных. Все пирожные разложили на 25 тарелок (по две штуки на тарелку). Докажите, что как бы ни были размещены пирожные, можно так раздать тарелки ребятам, что каждому достанется хотя бы одно пирожное, которое он сам принес.

Решение

Решение. Тарелки, на которых лежат два пирожных, принесенных одним человеком, надо сразу раздать тем, кто их принес. Со всеми остальными тарелками поступаем вот как. Берем любую тарелку. На ней лежат два пирожных, принесенных разными людьми. Одному из этих людей присваиваем номер 1 и отдаем ему тарелку, а другому пока просто присваиваем номер 2. Теперь найдем тарелку с еще одним пирожным, которое принес человек №2. Эту тарелку отдадим ему, а человеку, который принес другое пирожное, лежащее на этой тарелке, присвоим номер 3. Продолжая действовать так же и дальше, пронумеруем всех людей и дадим каждому тарелку. Последнему человеку достанется тарелка, на которой лежит его собственное пирожное и пирожное, которое принес человек №1 (подумайте, почему так получится). Тем самым задача решена.

7.

Решите ребус: 3 × 1xy = z36 (x, y, z — цифры; abc обозначает число, составленное из цифр a, b, c в указанном порядке).

Ответ Решение

Ответ. x = 1, y = 2, z = 3.

Решение. Произведение в левой части ребуса, очевидно, делится на 3, значит, должно делиться на 3 и число в правой части ребуса. Согласно признаку делимости на 3, это возможно тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3, то есть z+3+6 делится на 3. А это означает, что z делится на 3. Так как z — цифра (причем не ноль, так как она стоит в начале числа), она может равняться 3, 6 или 9. При z=3 получаем 3 × 1xy = 336, откуда при помощи деления находим 1xy = 112, то есть x = 1, y = 2. Если же z = 6 или z = 9, то в правой части ребуса стоит число, большее 600. В левой же части всегда стоит число, не превосходящее 597 (подумайте почему). Стало быть, ребус в этом случае не имеет решений.

8.

С помощью карандаша и линейки нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки.

Ответ Комментарий

Ответ.

Комментарий. На рисунке в ответе квадрат разрезан на пять частей, площадь каждой из которых равна площади одной клетки (убедитесь в этом сами). Проверить, что площадь нарисованного квадрата действительно в пять раз больше площади одной клетки, можно и при помощи теоремы Пифагора (подумайте как).

9.

Леня и Паша спускаются по движущемуся вниз эскалатору, не пропуская ступенек. Паша успевает сделать три шага, пока Леня делает два. Паша, пока спускался, успел сделать 45 шагов, а Леня — только 40. Сколько ступенек в видимой части эскалатора?

Ответ Решение

Ответ. 60.

Решение. Пусть в видимой части эскалатора n ступенек. За время, пока Паша спускается по эскалатору, n-45 ступенек уезжают в невидимую часть (это те ступеньки, которые Паше пришлось бы пройти дополнительно, если бы он спускался по неподвижному эскалатору). Аналогично, за время, пока по эскалатору спускается Леня, в невидимую часть уезжают n-40 ступенек. Отношение этих двух количеств уезжающих ступенек равно отношению отрезков времени, за которые они уезжают, а мальчики спускаются по эскалатору (так как эскалатор движется с постоянной скоростью). Время спуска Паши относится ко времени спуска Лени, как 45/3 относится к 40/2, то есть как 15:20, или 3:4 (Паша шагает в 3/2 раза быстрее, но успевает сделать больше шагов). Приравняем эти отношения:

n-45	=	3
n-40		4

Решая это уравнение, найдем, что n = 60 (проделайте это самостоятельно). Убедитесь, что за то время, пока Паша делает три шага, а Леня — два, в невидимую часть уезжает одна ступенька эскалатора.