МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Варвара Алексеевна Косоротова
2010/2011 учебный год

Занятие 18. Нелинейные уравнения в целых числах

1.
Решите уравнения в целых числах:
a)
(2x + y) (5x + 3y) = 7;
b)
xy = x + y + 3;
c)
x² = 15 + y²;
d)
x² + y² = x + y + 2;
e)
3x + 5y = xy.
2.
Имеют ли следующие уравнения решения в целых числах?
a)
x² − 7y = 10;
b)
x² + y² = 4z − 1;
c)
15x² − 7y² = 9;
d)
x² + y² = 20102010.
Подсказка. Рассмотрите возможные остатки от деления квадрата натурального числа на некоторое другое натуральное число.
3.
Найдите все решения следующих уравнений в целых числах.
a)
3m + 7 = 2n;
b)
3 · 2m + 1 = n²;
c)
(n! − 1)² = m! + 1;
d)
1 + x + x² + x³ = 2y;
e)
2n + 8n + 5 = k²;
f)
xy = x + 2.
4.
Найдите все такие пары натуральных чисел (a, b), что числа a³ + 6ab + 1 и b³ + 6ab + 1 являются точными кубами некоторых натуральных чисел.
5.
Собрались 60 знакомых, некоторых из которых зовут Денис Денисович, некоторых — Денис Всеволодович, некоторых — Всеволод Всеволодович, некоторых — Всеволод Денисович. Возможно также, что в этой компании есть Арсении Андреевичи. Сколько арсениев Андреевичей в этой компании, если Всеволодов в 7 раз больше, чем Денисов, а Денисовичей в 4 раза больше, чем Всеволодовичей?
6.
У капитана двое сыновей и несколько (то есть больше двух) дочерей. Если возраст капитана умножить на количество детей и на длину его шхуны, получится 32118. Сколько лет капитану, сколько у него детей и какова длина его корабля? Предполагается, что капитану меньше ста лет, а длина шхуны — целое число метров.
7.
Восемь детей разделили между собой 32 персика следующим образом. Аня получила один персик, Катя — два, Лиза — три и Даша — четыре. Коля Иванов взял столько же персиков, сколько его сестра, Пете Гришину досталось вдвое больше персиков, чем его сестре, Толе Андрееву — втрое больше, чем его сестре, и, наконец, Вася Сергеев получил персиков вчетверо больше, чем его сестра. Назовите фамилии четырех девочек.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS