МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 18. Нелинейные уравнения в целых числах

1.

Решите уравнения в целых числах:

a)

(2x + y) (5x + 3y) = 7;

b)

xy = x + y + 3;

c)

x² = 15 + y²;

d)

x² + y² = x + y + 2;

e)

3x + 5y = xy.

2.

Имеют ли следующие уравнения решения в целых числах?

a)

x² − 7y = 10;

b)

x² + y² = 4z − 1;

c)

15x² − 7y² = 9;

d)

x² + y² = 20102010.

Подсказка

Подсказка. Рассмотрите возможные остатки от деления квадрата натурального числа на некоторое другое натуральное число.

3.

Найдите все решения следующих уравнений в целых числах.

a)

3^m + 7 = 2ⁿ;

b)

3 · 2^m + 1 = n²;

c)

(n! − 1)² = m! + 1;

d)

1 + x + x² + x³ = 2^y;

e)

2ⁿ + 8n + 5 = k²;

f)

x^y = x + 2.

4.

Найдите все такие пары натуральных чисел (a, b), что числа a³ + 6ab + 1 и b³ + 6ab + 1 являются точными кубами некоторых натуральных чисел.

5.

Собрались 60 знакомых, некоторых из которых зовут Денис Денисович, некоторых — Денис Всеволодович, некоторых — Всеволод Всеволодович, некоторых — Всеволод Денисович. Возможно также, что в этой компании есть Арсении Андреевичи. Сколько арсениев Андреевичей в этой компании, если Всеволодов в 7 раз больше, чем Денисов, а Денисовичей в 4 раза больше, чем Всеволодовичей?

6.

У капитана двое сыновей и несколько (то есть больше двух) дочерей. Если возраст капитана умножить на количество детей и на длину его шхуны, получится 32118. Сколько лет капитану, сколько у него детей и какова длина его корабля? Предполагается, что капитану меньше ста лет, а длина шхуны — целое число метров.

7.

Восемь детей разделили между собой 32 персика следующим образом. Аня получила один персик, Катя — два, Лиза — три и Даша — четыре. Коля Иванов взял столько же персиков, сколько его сестра, Пете Гришину досталось вдвое больше персиков, чем его сестре, Толе Андрееву — втрое больше, чем его сестре, и, наконец, Вася Сергеев получил персиков вчетверо больше, чем его сестра. Назовите фамилии четырех девочек.