МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 17. Уравнения в целых числах

1.

У километрового столба по Ленинградскому шоссе ходит Варя. Она делает по 5 или 7 шагов в сторону Ленинграда или в сторону Москвы, потом останавливается и опять идет в ту или другую сторону от того места, где остановилась. Сможет ли она, начав движение от столба, остановиться на три шага ближе к Москве, чем столб? И если да, то как она должна делать шаги?

2.

Найдите все решения уравнений в целых числах:

a)

x − y = 0;

b)

3x − 5y = 0;

c)

15x − 9y = 0.

3.

В уравнении 3x + 5y = 13, выразив y через x, изобразите на координатной плоскости прямую y = f (x). Определите по графику, какие точки (x, y) на ней имеют целые координаты. С какими периодами по осям Ox и Oy повторяются эти координаты?

4.

Решите уравнение 5x − 7y = 3 в целых числах «по шагам»:

a)

найдите какое-нибудь одно решение (x₀, y₀), то есть такие целые числа x₀ и y₀, чтобы выполнялось равенство 5x₀ − 7y₀ = 3;

b)

докажите, что если (x, y) — любое решение уравнения 5x − 7y = 3, то 5(x − x₀) − 7(y − y₀) = 0 (здесь (x₀, y₀) — решение, найденное в пункте а);

c)

найдите все решения уравнения 5z − 7t = 0 в целых числах;

d)

найдите все решения уравнения 5x − 7y = 3 в целых числах.

5.

Докажите, что для любых двух натуральных чисел a и b найдутся целые числа z и t такие, что НОД (a, b) = az + bt.

6.

Для уравнения ax + by = c:

a)

докажите, что оно имеет решения тогда и только тогда, когда c делится на НОД (a, b);

b)

докажите, что в этом случае все его решения имеют вид

x = x0 +	b	t,
	НОД (a, b)

y = y0 −	a	t,
	НОД (a, b)

где (x₀, y₀) — одно из решений, а t пробегает все целые числа.

7.

Решите в целых числах уравнения:

a)

3x − 5y = 13;

b)

3x − 5y = 19;

c)

10x − 15y = −5.

8.

Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца — на 31. (Например, для даты рождения 1 мая получится 1·12 + 5·31 = 167.) Он сообщает вам сумму этих произведений, а вы вычисляете по ней дату его рождения. Как?

9.

Квадрат 8×8 распилили на квадраты 2×2, доминошки 1×2 и пентаминошки (от греч. «пента» — пять), имеющие вид прямоугольников 2×3 с выкинутой угловой клеткой. Известно, что общая длина распилов равна 52. Сколько могло получиться квадратов, если пентаминошек оказалось больше, чем доминошек?

10.

Три брата родились в один и тот же день, но в разные годы. Когда старшему исполнилось 13 лет, сумма возрастов всех трех братьев нацело разделилась на 13. (Подразумевается, что все они к тому времени уже родились.) Докажите, что когда среднему из братьев исполнится 13 лет, сумма возрастов всех братьев не будет кратна 14.