МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 13 (11 февраля 2017 года). Матпраздник не за горами!

Сегодняшний листочек составлен из задач Матпраздников прошлых лет — как самых простых, так и довольно сложных.

1.

У Незнайки есть пять карточек с цифрами 1, 2, 3, 4 и 5. Помогите ему составить из этих карточек два числа — трёхзначное и двузначное — так, чтобы первое число делилось на второе.

2.

Через двор проходят пересекающиеся тропинки (см. план). Посадите четыре яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.

3.

Математик с пятью детьми зашел в пиццерию.
Маша: Мне с помидорами и чтоб без колбасы.
Ваня: А мне с грибами.
Даша: Я буду без помидоров.
Никита: А я с помидорами. Но без грибов!
Игорь: И я без грибов. Зато с колбасой!
Сможет ли математик заказать две пиццы и угостить каждого ребёнка такой, какую тот просил, или всё же придется заказывать три пиццы?

4.

В маленьком городе только одна трамвайная линия. Она кольцевая, и трамваи ходят по ней в обоих направлениях. На кольце есть остановки Цирк, Парк и Зоопарк. От Парка до Зоопарка путь на трамвае через Цирк втрое длиннее, чем не через Цирк. От Цирка до Зоопарка путь через Парк вдвое короче, чем не через Парк. Какой путь от Парка до Цирка — через Зоопарк или не через Зоопарк — короче и во сколько раз?

5.

Равносторонний треугольник со стороной 8 разделили на треугольнички со стороной 1 (см. рис.). Какое наименьшее количество треугольничков надо закрасить, чтобы все точки пересечения линий (в том числе и те, что по краям) были вершинами хотя бы одного закрашенного треугольничка? Приведите пример и докажите, что меньшее количество закрасить нельзя.

6.

Сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?

7.

Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь картина? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.)

8.

Робот придумал шифр для записи слов: он заменил некоторые буквы алфавита однозначными или двузначными числами, используя только цифры 1, 2 и 3 (разные буквы он заменял разными числами). Сначала он записал шифром сам себя: РОБОТ = 3112131233. Зашифровав слова КРОКОДИЛ и БЕГЕМОТ, он с удивлением заметил, что числа вышли одинаковыми! Потом Робот записал слово МАТЕМАТИКА. Какое число у него получилось? Ответ обоснуйте.