МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 7 (12 ноября 2016 года), геометрическое

1.

Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн Саида состоят из ста одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10×10. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена внешняя, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн Саида?

2.

У двух человек было по квадратному торту. Каждый сделал на своём торте по два прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как такое могло быть?

3.

Есть три одинаковых кирпича и линейка. Как без вычислений узнать длину главной диагонали кирпича? (Главная диагональ — та, которая соединяет две противоположные вершины кирпича. Она лежит внутри кирпича и снаружи не видна. Ломать кирпичи нельзя.)

4.

Студенты кафедры высшей геометрии и топологии, находясь летом на отдыхе, разрезали арбуз на четыре части и съели. Могло ли после этого остаться пять корок?

5.

У Джузеппе есть лист фанеры размером 22×15. Джузеппе хочет вырезать из него 22 прямоугольных заготовки размером 3×5. Как ему это сделать?

6.

Ковёр-самолёт летает только тогда, когда имеет прямоугольную форму. У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1×8. Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать еще кусочек 1×4, чтобы получился прямоугольник 8×12. Но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10×10. Сможете ли Вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?

7.

Можно ли в квадрате 10×10 расставить 12 кораблей 1×4 (для игры типа «морского боя») так, чтобы корабли не соприкасались друг с другом (даже вершинами)?

8.

В круге отметили точку. Разрежьте круг: а) на три; б) на две части так, чтобы из них можно было составить новый круг с отмеченной точкой в центре.

9.

На бумаге нарисован квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит точка P (если точка лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).

а)

Как за четыре вопроса узнать, лежит ли точка Р внутри квадрата?

б)

Удастся ли это сделать за три вопроса?