МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 9 (26 ноября 2016 года). Оценка + пример

1.

Какое наибольшее число трёхклеточных уголков можно вырезать из клетчатого квадрата 8×8?

2.

а)

8 кузнецов должны подковать 10 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите: лошадь не может стоять на двух ногах!)

б)

А если кузнецов 48, а лошадей 60?

3.

а)

В магазине приходится взвешивать на весах товары массой в целое число килограммов — от 1 кг до 15 кг. Какое наименьшее число гирь должно быть для этого в магазине, если гири кладутся на одну чашку весов, а продукты на другую?

б)

А какое наименьшее число гирь должно быть в магазине, где взвешивать нужно товары целой массой от 1 до 40 кг, но гири можно класть на обе чашки весов?

4.

Какое наименьшее число клеточек на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы была хотя бы одна закрашенная клетка:

а)

в любом квадратике 2×2;

б)

в любом уголке из трёх клеточек?

5.

В пруд пустили 30 щук, которые стали кушать друг друга. Щука считается сытой, если она съела хотя бы трёх щук. Какое наибольшее количество щук могло насытиться, если съеденные сытые щуки при подсчёте тоже учитываются?

6.

У каждого из 222 шестиклассников на Малом Мехмате не более двух близких приятелей. Оказавшись в одном помещении, два близких приятеля начинают непрерывно болтать, и всякая работа в этом помещении прекращается. Какое наименьшее число аудиторий необходимо иметь Евгению Александровичу, чтобы обеспечить бесперебойную работу всей параллели 6 класса?

7.

На старт «Весёлого забега» на 3000 м выходит команда из трёх математиков. Им выдается один одноместный самокат. Дорожка прямая, стартуют все одновременно, а в зачёт идет время последнего пришедшего на финиш. Какое минимальное возможное время прохождения дистанции, если бегают все трое со скоростью 125 м/мин, а на самокате ездят со скоростью 250 м/мин?

8.

На какое наибольшее количество разных прямоугольников можно разрезать по линиям сетки:

а)

прямоугольник 5×6 клеточек;

б)

прямоугольник 12×6 клеточек;

в)

прямоугольник 2×36 клеточек?

Дополнительные задачи

9.

Сколько (минимум, максимум, а как в промежутке между минимумом и макси­мумом) клеток можно отметить на доске 8×8 так, чтобы в каждом квадрате 3×3 была ровно одна отмеченная клетка?

10.

23 шестиклассника пришли на занятия Малого Мехмата и повесили свои куртки в гардероб без номерков. После занятий все расходились по очереди, хва­тая первую попавшуюся куртку, которая была больше по размеру или подходила ему. В итоге несколько человек остались с куртками, которые на них не налезали. Сколько максимум таких человек могло остаться?