МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 4 класса

Занятие 21 (9 апреля 2016 года). Задачи на шахматной доске

1.

Закрасьте некоторые клетки квадрата 4х4 так, чтобы любая закрашенная клетка имела общую сторону ровно с тремя незакрашенными. Закрасьте как можно больше клеток!

Подсказка

Подсказка. Можно закрасить максимум 5 клеток.

2.

Вырежьте из шахматной доски 8x8 12 прямоугольников 1x5.

3.

а) Расставьте на шахматной доске как можно больше ладей так, чтобы они не били друг друга.
б) Докажите, что больше поставить действительно нельзя.

Решение

Решение. Максимум можно поставить 8 ладей, по 1 на каждую горизонталь и по 1 на каждую вертикаль.

4.

а) Расставьте на шахматной доске 8 коней так, чтобы каждый бил ровно двух других.
б) Придумайте второе решение.

5.

а) Расставьте на шахматной доске 16 коней так, чтобы каждый бил ровно двух других.
б) Придумайте второе решение.

6.

Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый бил ровно двух других.

Подсказка

Подсказка. Для начала постарайтесь поставить 8 коней в квадрате 3 на 3 так, чтобы каждый бил ровно двух других.

7.

а) Расставьте на шахматной доске несколько коней так, чтобы каждый бил не менее четырёх других.
б) Придумайте второе решение.

Дополнительные задачи

8.

Разрежьте шахматную доску без двух противоположных угловых клеток на доминошки (прямоугольники 1x2).

Решение

Решение. Это невозможно. Каждая доминошка занимается одну чёрную и одну белую клетку, а в доске с вырезанными уголками клеток одного цвета на 2 меньше, чем клеток другого цвета.

9.

Расставьте на шахматной доске несколько коней так, чтобы каждый бил не менее пяти других.

Решение

Решение. Это невозможно. Посмотрим на края доски. Там не может стоять ни один конь. Значит, все они будут в квадрате 6 на 6. Посмотрим на его края. Там не может стоять ни один конь. И так далее.