МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 4 класса

Занятие 18 (26 марта 2016 года). Взвешивания

0.

Имеются чашечные весы и три монеты. Одна из монет фальшивая, она легче остальных. Как за одно взвешивание определить фальшивую монету?

Решение

Решение. Сравниваем любые две монеты. Если они равны, то третья фальшивая. Если не равны, то фальшивая более лёгкая.

1.

а) Перед вами 9 монет, одна из них фальшивая (легче настоящих). Как за два взвешивания выяснить, какая монета фальшивая?
б) Перед вами 81 монета, одна из них фальшивая (легче настоящих). Сколько взвешиваний понадобится, чтобы выяснить, какая монета фальшивая?
в) А если монет 10, сколько взвешиваний понадобится?

Решение

Решение. а) Делим на три кучки по три монеты. Сравниваем между собой две из них, становится понятно, в какой кучке фальшивая монета. Этим мы свели задачу к задаче 0.
б) Делим на три кучки по 27, две сравниваем, выясняем, в какой фальшивая. Её снова делим на три части и так далее.
в) Минимум три взвешивания.

2.

Есть три монеты, одна из них фальшивая (но нам неизвестно, легче она или тяжелее, чем настоящие). Как выяснить, какая монета фальшивая? Обойдитесь как можно меньшим количеством взвешиваний.

Решение

Решение. Сравниваем любые две монеты. Если они равны, значит, они настоящие. Если они разные, то сравниваем одну из них с третьей (которая уже точно настоящая), и понимаем, кто же фальшивый.

3.

Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?

Решение

Решение. Легко разделить 24 на две кучки по 12 кг, уравновесив весы. Потом одну из кучек делим ещё пополам, на кучки по 6 кг. Так же получаем 3 кг. Прибавляем их к одной из первых 12-ти килограммовых кучек, получаем 15. Осталось 9.

4.

Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса Алиса? (Находить монету не надо.)

Решение

Решение. Делим на три кучки по 5 монет. Сравниваем две из них. Если они равны, то сравниваем любую из них с третьей, фальшивая монета точно там, так мы поймём, легче она или тяжелее. Если же 1 и 2 кучка неравны, то сравниваем одну из них с третьей (которая вся настоящая) и всё понимаем. Эта задача почти аналогична задаче 2.

5.

Из пяти монет две фальшивые. Одна из фальшивых монет легче настоящей, а другая — на столько же тяжелее настоящей.Объясните, как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти обе фальшивые монеты.

Решение

Решение. Отложим одну монету, а на каждую чашу весов положим по две монеты. Возможны два случая. 
1) Весы в равновесии. Так как четырёх настоящих монет нет, то на одной чаше лежат обе фальшивые монеты. Следующим взвешиванием достаточно сравнить веса монет с одной чаши: если весы в равновесии, то эти монеты настоящие, и фальшивые монеты в другой чаше; если весы не в равновесии, то фальшивые монеты — на весах.
2) Одна из чаш перевесила. Тогда на весах находится или только лёгкая фальшивая монета в более лёгкой чаше или только тяжёлая фальшивая монета в более тяжёлой чаше, или обе монеты находятся в разных чашах. Вторым взвешиванием сравним веса монет в лёгкой чаше: если весы не в равновесии, то более лёгкая монета — фальшивая. Если весы в равновесии, то отложенная монета — фальшивая (и она лёгкая). Аналогично, третьим взвешиванием сравним веса монет из тяжёлой чаши: тогда, либо более тяжёлая монета — фальшивая, либо, если весы в равновесии, отложенная монета фальшивая (и она тяжёлая).

6.

Золотоискатель добыл 9 кг песка. Ему надо отмерить 2 кг песка с помощью весов с двумя чашами и одной гирей — 200 г. Как это сделать за 3 взвешивания? Если мы добиваемся равновесия путем пересыпания песка — это одно взвешивание. Есть пакеты для хранения песка.

Решение

Решение. Уравновешиваем весы всем песком, когда на одной чаше лежит гиря. Получаем на каждой чаше по 9200/2 = 4600, значит, на одной песка 4600, на другой 4400. Делим его пополам, получаем 2200. Ну и теперь отсыпаем песок так, чтобы уравновесить гирю, получаем 200. Остальное и есть наши два килограмма.

Дополнительные задачи

7.

Семь монет расположены по кругу. Известно, что какие-то четыре из них, идущие подряд, — фальшивые и что каждая фальшивая монета легче настоящей. Объясните, как найти две фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах без гирь. (Все фальшивые монеты весят одинаково.)

Решение

Решение. Заметим, что три настоящие монеты также лежат подряд. Занумеруем монеты по кругу, например, двигаясь по часовой стрелке, числами от 1 до 7.
На одну чашу весов положим монеты с номерами 1 и 2, а на другую — монеты с номерами 4 и 5. При таком взвешивании все четыре фальшивые монеты не могут оказаться на весах и при этом настоящих монет на весах — не более двух.
Рассмотрим два случая.  1) Одна из чаш легче. Тогда на ней обе монеты фальшивые. 
2) Весы находятся в равновесии. Тогда на каждой чаше весов — одна фальшивая монета и одна настоящая.  Следовательно, монеты 6 и 7 — фальшивые.

8.

Дан мешок сахарной пудры, чашечные весы и гирька в 1 г. Как за 5 взвешиваний отмерить 31 г сахарной пудры?

Решение

Решение. Первым взвешиванием отмеряем 1 г, вторым ещё 2 — уже есть 3. Третьим отмеряем 4, всего получаем 7. 4ым отмеряем ещё 8, получаем 15. 5ым отмеряем ещё 16, получаем 31.

9.

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

Решение

Решение. Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, затем сложим полученные веса (где-нибудь в тетради) и получим удвоенный вес трех яблок, а затем и вес трех яблок, следовательно, за три взвешивания мы узнали суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно и, суммируя все данные, получим вес 13 яблок.