МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 4 класса

Занятие 17 (12 марта 2016 года). Игры и стратегии

1.

а) В кучке лежит 10 спичек. Игроки по очереди берут спички из кучки. За один ход разрешается взять 1 или 2 спички. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
б) То же самое, но в кучке 12 спичек.
в) То же самое, но в кучке 20 спичек, и можно брать от 1 до 4 спичек зараз.
г) (*) Сформулируйте общую стратегию игры, когда можно брать от 1 до k спичек.

Решение

Решение. а), б) Стратегия: сделайте так, чтобы противнику всегда доставалось число спичек, кратное трём.
в) Стратегия: сделайте так, чтобы противнику всегда доставалось число спичек, кратное пяти.
г) Стратегия: сделайте так, чтобы противнику всегда доставалось число спичек, кратное (k+1).

2.

Это первая задача наборот.
а) В кучке лежит 10 спичек. Игроки по очереди берут спички из кучки. За один ход разрешается взять 1 или 2. Проигрывает тот, кто делает последний ход.
б) То же самое, но в кучке 12 спичек.
в) То же самое, но в кучке 20 спичек, и можно брать от 1 до 4 спичек зараз.
г) (*) Сформулируйте общую стратегию игры, когда можно брать от 1 до k спичек.

Решение

Решение. а), б) Стратегия: сделайте так, чтобы противнику всегда доставалось число спичек, кратное трём, плюс 1, то есть 1, 4, 7, 10, ….
в) Стратегия: сделайте так, чтобы противнику всегда доставалось число спичек, кратное пяти, плюс 1, то есть 1, 6, 11, 16, ….
г) Стратегия: сделайте так, чтобы противнику всегда доставалось число спичек, кратное k+1 плюс 1, то есть 1, k+1, 2k+1, 3k+1, ….

3.

Остап Бендер провел сеанс одновременной игры в шахматы с двумя гроссмейстерами, причем с одним из соперников он играл чёрными фигурами, а с другим — белыми. За этот сеанс Остап получил 1 очко. (За победу в шахматной партии дается 1 очко, за ничью пол-очка, за поражение — 0 очков.) Как он смог этого добиться?

Решение

Решение. Он повторял игры одного гроссмейстера в своей игре с другим.

4.

а) Имеются две кучки по 10 спичек. Двое по очереди берут спички, причём за один ход разрешается брать любое количество спичек, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
б) А если в одной кучке 20, а в другой 30 спичек?
в) Теперь у нас три кучки по 10 спичек. Двое по очереди берут спички, причём за один ход разрешается брать любое количество спичек, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Решение. а) Стратегия: симметричная, у второго игрока. Надо, чтобы противнику всегда приходили две одинаковые кучки.
б) Стратегия: у первого игрока. Сначала берём 10 спичек. Задача сведена к предыдущей.
в) Стратегия: у первого. Забираем одну кучку целиком. Задача сведена к пункту а).

5.

а) На шахматной доске в левом нижнем углу стоит фишка. В свой ход игрок может подвинуть её либо вправо на сколько угодно клеток, либо вверх на сколько угодно клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
б) А если фишку можно двигать ещё и по диагонали вправо-вверх на сколько угодно клеток?

Решение

Решение. а) Стратегия: у второго, симметричная. Пусть противнику приходит фишка на диагонали.

6.

В коробке 30 спичек. Двое по очереди берут из коробка не более половины лежащих в нём спичек (если пришла одна спичка, то берём её). Кто не может сделать ход — проиграл. У кого есть выигрышная стратегия? Какая?

Решение

Решение. Стратегия: Если вам пришла 1 спичка, вы выиграли. Если 2 - проиграли. Если 3 или 4 – выиграли (делаете 2). Если 5 – проиграли. Если 6, 7, 8, 9 – выиграли (делаете 5). Если 10 – проиграли. И так далее, вот список проигрышных позиций (надо сделать так, чтобы они приходили вашему противнику): 2, 5, 11, 23, 47, … , 2n+1