МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Математическая регата (23.12.2006)

Блок 1 (10 мин) (каждая задача — 6 баллов)

1-1.

В компьютерной программе Excel столбцы таблиц нумеруются латинскими буквами. Первые 26 столбцов занумерованы от A до Z, 27-й столбец обозначен AA, 28-й – AB. Как занумерован 700-й столбец?

1-2.

Квадрат разрезали на 8 квадратиков. Верно ли, что семь из них обязательно равны?

1-3.

Несколько (больше пяти) шариков выложены в ряд. Каждый покрашен в какой-то цвет. Оказалось, что среди любых трёх шариков, идущих подряд, хотя бы два — красные, а среди любых шести шариков, идущих подряд, хотя бы два — синие. Может ли среди этих шариков оказаться жёлтый?

Блок 2 (15 мин) (каждая задача — 7 баллов)

2-1.

Вместо знаков «?» вставьте такие числа, чтобы равенство

(x² + ?· x + 2)(x + 3)=(x + ?)(x² + ?· x + 6) стало тождеством.

2-2.

Можно ли из квадрата 7×7 вырезать по линиям сетки 8 пятиклеточных букв "Т" ? (Буквы "Т" можно поворачивать.)

2-3.

На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) состоялась конференция, на которой 100 человек расселись за 10 многоугольными столами (необязательно одинаковыми) так, что с каждой стороны каждого стола сел ровно 1 человек. Каждый рыцарь заявил, что за его столом есть ещё рыцарь, а каждый лжец заявил, что за его столом все - лжецы. Какое наибольшее количество лжецов могло участвовать в конференции?

Блок 3 (15 мин) (каждая задача — 7 баллов)

3-1.

Когда у двух дробей с натуральными числителями и знаменателями поменяли числители местами, сумма дробей не изменилась. Докажите, что либо числители, либо знаменатели дробей равны.

3-2.

Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

3-3.

В однокруговом футбольном турнире участвовало 7 команд. По итогам турнира оказалось, что команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков. Могло ли по итогам турнира оказаться ровно 6 ничьих? (За победу даётся 3 очка, за ничью - 1, за поражение - 0)

Блок 4 (20 мин) (каждая задача — 8 баллов)

4-1.

Сколько решений имеет ребус:

ДЕТИ+ЗАДАЧИ=ТУРНИР ?

4-2.

Можно ли клетчатую доску 1001×1001 замостить без пропусков и наложений «доминошками» и «крестиками» (из пяти клеток) без пропусков и наложений?

4-3.

На столе лежат 2006 карточек с целыми числами от 1 до 2006 (каждое число встречается по одному разу). Два игрока по очереди берут себе по одной карточке. Если после того, как все карточки будут разобраны, сумма чисел на карточках первого игрока будет делиться нацело на 3, то победителем считается первый игрок, иначе победителем считается второй игрок. Кто выиграет при правильной игре?

Результаты регаты

Списки команд