МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 15. Неравенства (17.02.2007)

1.

Сравните два числа a) 2³⁰⁰ и 3²⁰⁰; б) 2¹⁰⁰+3¹⁰⁰ и 4¹⁰⁰.

2.

9 одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же тетрадок – 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна тетрадка?

3.

Сравните числа (1+18²⁰⁰⁶)/(1+18²⁰⁰⁷) и (1+18²⁰⁰⁷)/(1+18²⁰⁰⁸).

4.

Докажите, что если a>0, то a+1/a≥2. Когда достигается равенство?

5.

Докажите, что если число b является средним арифметическим чисел a и c, то выражение ab+bc-ac-b² принимает только положительные значения.

6.

Существуют ли такие числа a, b, c, k, m, n, x, y и z, что amz>0; bnx>0; cky>0; any<0; bkz<0; cmx<0?

7.

Что больше 31¹¹ или 17¹⁴?

8.

Докажите, что для неотрицательных чисел a, b и c выполняется неравенство a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²≥6abc.