МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 11. Стратегии и игры (13.01.2007)

1.

В каждой клетке доски 11×11 стоит по шашке. За один ход можно снять любое количество подряд идущих шашек в столбце или в строке. Играют двое, проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого из игроков есть выигрышная стратегия, и в чём она заключается?

2.

Саша и Алёша по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8×8 на экране мобильного телефона так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Саша. У кого из них есть стратегия, позволяющая выиграть, вне зависимости от игры другого?

3.

По кругу расставлены n фишек. Играют двое. За ход разрешается снять одну или две подряд идущие фишки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

4.

Имеются 9 карточек, на которых написаны числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Двое по очереди берут одну из карточек и кладут её в одну из двух кучек (любую). Выигрывает тот, после чьего хода в одной из кучек найдутся три карточки с нулевой суммой чисел на них. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

5.

На доске написаны числа 25 и 36. Играют двое. За ход разрешается написать положительную разность двух каких-либо уже имеющихся чисел, которая еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

6.

Игра «Морской бой» проходит в квадрате 7×7 клеток. Какое наименьшее число выстрелов необходимо сделать, чтобы наверняка ранить четырёхпалубный корабль, представляющий собой полоску 1×4?

7.

Король обошёл шахматную доску 8×8, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернулся последним ходом на исходное поле. Когда нарисовали его путь, соединив отрезками центры полей, которые он последовательно проходил, то получилась замкнутая ломаная без самопересечений.

а)

Докажите, что король не мог сделать меньше, чем 28 горизонтальных и вертикальных ходов.

б)

Приведите пример, показывающий, что ровно 28 таких ходов он сделать мог.