МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 17. Наши знакомые (10.03.2007)

1.

Верно ли, что среди любых пяти человек есть двое с одинаковым числом знакомых среди этих пяти человек?

2.

Сегодня, в честь первого в этом году весеннего занятия нашего кружка, каждый школьник, пришедший на Малый Мехмат, обменялся подарками с одним, тремя или пятью другими школьниками. Охранник посчитал всех пришедших школьников и говорит, что их 513. Докажите, что охранник ошибается.

3.

У Васи есть шестеро знакомых по имени «Иван». Верно ли, что среди них есть либо три попарно знакомых Ивана, либо три попарно незнакомых Ивана?

4.

Каждый из школьников, пришедших сегодня на Малый Мехмат, нарисовал на плоскости одну точку. Оказалось, что из любых четырёх школьников можно выбрать троих, чьи точки лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать одного школьника так, что точки всех остальных лежат на одной прямой.

5.

Каждые двое из 17 учёных переписываются по одной из трёх тем. Докажите, что найдутся трое учёных, пишуших друг другу по одной и той же теме.

6.

На Малом Мехмате среди любых четырёх школьников всегда найдётся, по меньшей мере, один, знакомый с остальными тремя. Докажите, что тогда существует школьник, знакомый со всеми остальными школьниками на Малом Мехмате. Какое наибольшее число школьников, знакомых не со всеми, может быть на Малом Мехмате?