МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 21. Принцип крайнего (14.04.2007)

1.

По окружности расставлены 2007 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.

2.

а)

Семь грибников собрали вместе 59 грибов, причем никакие двое не собрали поровну. Докажите, что какие-то три грибника собрали вместе не менее 33 грибов.

б)

Восемь грибников собрали 37 грибов, причем никакие двое не собрали поровну. Докажите, что какие-то двое из них собрали больше, чем какие-то пятеро.

3.

На шахматной доске стоят несколько ладей. Обязательно ли найдется ладья, бьющая не более двух других? (Перепрыгивать через другие фигуры ладья не может.)

4.

В марсианском метро с любой станции можно проехать на любую другую. Докажите, что можно так выбрать станцию и закрыть ее на ремонт (без права проезда через нее), что по-прежнему можно будет проехать с любой оставшейся станции на любую оставшуюся.

5.

Докажите, что для любых 10 точек на плоскости найдутся пять непересекающихся отрезков, концы которых совпадают с данными точками.

6.

В космическом пространстве летают 2007 астероидов, на каждом из которых сидит астроном, причём все расстояния между астероидами различны. Каждый астроном наблюдает за ближайшим астероидом. Докажите, что за одним из астероидов никто не наблюдает.

7.

В некотором государстве расположено несколько аэродромов, все расстояния между которыми различны. С каждого аэродрома взлетает самолёт и летит на ближайший. Докажите, что на любом аэродроме приземлится не более 5 самолётов.

8.

а)

На столе лежат монеты одинакового радиуса. Докажите, что есть монета, касающаяся не более трёх других.

б)

В случае монет разных радиусов докажите, что есть монета, касающаяся не более пяти других.