МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 3. Турниры (21.10.2006)

В футбольном турнире за победу даётся 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0; в шахматном турнире – за победу 1 очко, за ничью 1/2 очка, за поражение 0; в волейбольном турнире – за победу 1, за поражение 0 (в волейболе ничьих не бывает).

1.

а)

В однокруговом шахматном турнире приняло участие 16 человек. Какое наименьшее количество очков мог набрать победитель этого турнира (победителей может быть и несколько)?

б)

А если это был волейбольный турнир, в котором приняло участие 16 команд?

2.

Лёша, Сеня и Ваня играют в настольный теннис, причём тот, кто не принимает участие в партии, в следующей играет с победителем предыдущей. В результате Лёша сыграл 10 партий, а Сеня – 21. Сколько партий сыграл Ваня?

3.

16 шахматистов провели турнир в один круг. Оказалось, что ровно 15 из них поделили второе место. Сколько очков набрал игрок, ставший чемпионом? (Вспомните задачу про Гошу из занятия 1.)

4.

В турнире по игре «крестики-нолики», проводившемся по олимпийской системе, участвовали 18 человек. Каждый день проводилась только одна партия, участники которой определялись жребием из числа ещё невыбывших участников. Шесть человек утверждают, что участвовали ровно в четырёх партиях. Возможно ли это? (При олимпийской системе после каждой партии проигравший выбывает из турнира.)

5.

Состоялся волейбольный турнир в один круг. Будем говорить, что команда А сильнее команды В, если команда А выиграла у В или есть такая команда С, которая выиграла у В, но при этом проиграла А. Докажите, что команда, которая выиграла турнир, сильнее всех.

6.

В турнире математических боёв, проводившемся в один круг, приняли участие 8 команд. Все команды набрали разное количество очков. Команда, занявшая второе место, набрала столько же очков, сколько набрали вместе команды, занявшие места с 5-го по 8-е. Определите, как сыграли между собой команды, занявшие 3-е и 5-е места? (В турнире математических боёв за победу даётся 2 очка, за ничью 1, за поражение 0.)

7.

В однокруговом футбольном турнире приняли участие 16 команд из 16 разных городов. Каждый матч проходил в одном из этих городов. Могло ли по окончанию турнира оказаться так, что каждая команда сыграла по одному матчу во всех городах, кроме своего?

8.

Подумайте над такими вопросами: а) Всегда ли можно составить расписание однокругового турнира на n команд так, чтобы он прошёл в n-1 тур. (Тур состоит из нескольких игр, которые играются одновременно.) б) Тот же вопрос, но если добавить, что n - чётное.