МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 3. Уравнения в целых числах

1.

У фонарного столба стоит человек. Он может делать 5 или 7 шагов влево или вправо от столба. Сможет ли он оказаться в 3-х шагах справа от столба? Если сможет, то как он должен делать шаги?

2.

Найдите все решения уравнений в целых числах: а) x − y=0; б) 3x − 5y=0; в) 15x − 9y=0.

3.

В уравнении 3x + 5y=13, выразив y через x, постройте график прямой y=f(x). Определите по графику, какие точки (x,y) на нем имеют целые координаты. С какими периодами по осям Ox и Oy повторяются эти координаты?

4.

Решите уравнение 5x − 7y=3 в целых числах "по шагам":

а)

найдите какое-нибудь одно решение (x₀,y₀), то есть такие x₀ и y₀, чтобы выполнялось равенство 5x₀ − 7y₀=3;

б)

докажите, что если (x,y) — любое решение уравнения 5x − 7y=3, то тогда 5(x − x₀) − 7(y − y₀)=0;

в)

найдите все решения уравнения 5z − 7t=0 в целых числах;

г)

найдите все решения уравнения 5x − 7y=3 в целых числах.

5.

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b найдутся целые числа z и t, такие что НОД(a,b)=az + bt.

6.

Для уравнения ax + by=c:

а)

докажите, что оно имеет решения тогда и только тогда, когда c делится на НОД(a,b);

б)

докажите, что все его решения имеют вид:

где (x0,y0) — любое решение, а t пробегает все целые числа.

7.

Решите в целых числах уравнения: а) 3x − 5y=13; б) 3x − 5y=19; в) 10x − 15y= − 5.

8.

Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца — на 31. Он сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вычисляете по ней дату рождения. Как?