МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 2. НОД и НОК

1.

Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет "Ласточка" и 36 конфет "Белочка", если надо использовать все конфеты? Сколько конфет "Ласточка" и "Белочка" будет в каждом подарке?

2.

Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест в каждом автобусе. 424 человека поехали в лес, а 477 человек — на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

3.

Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов?

4.

В велосипеде ведущая шестерня имеет 44 зубца, а ведомая шестерня имеет 20 зубцов. Определите наименьшее число оборотов, которое сделает ведущая шестерня, чтобы шестерни заняли первоначальное положение. Сколько оборотов за это время сделает ведомая шестерня?

5.

На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по составу команды, всего 145 мальчиков и 87 девочек. Во всех командах было одинаковое число мальчиков и одинаковое число девочек. Сколько команд участвовало в соревнованиях? Сколько мальчиков и сколько девочек было в каждой команде?

6.

Пусть a и b — натуральные числа. Чему равно НОД(a, b)·НОК(a, b)?

7.

Найдите НОД чисел: а) 2n и 2n + 2; б) 3n и 6n + 3; в) 2n и 4n + 2; г) 30n + 25 и 20n + 15.

8.

Пусть a и b — натуральные числа и a > b. Поделим a на b c остатком: a = bq + r, 0 ≤ r < b. Докажите, что: а) НОД(a, b) = НОД(a − b, b); б) НОД(a, b) = НОД(r, b).

9.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с острым углом при основании AC, равным 36° (^π/₅). Докажите, что не существует такого отрезка, который укладывается целое число раз в отрезке AB и целое число раз в отрезке AC.