МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2005/2006 учебный год

Листок 13. Индукция в геометрии. Формула Пика

Замечание. Во всех задачах можно без доказательства пользоваться следующим утверждением: у всякого многоугольника есть хотя бы одна внутренняя (т.е. целиком содержащаяся внутри многоугольника) диагональ.
1.
Доказать, что сумма внутренних углов а) выпуклого; б) произвольного n-угольника равна π(n − 2). (π — развёрнутый угол)
2.
Доказать, что любой многоугольник можно разбить на треугольники, все вершины которых являются вершинами исходного многоугольника.
В следующих задачах (кроме последней) рассматривается геометрия на клетчатой бумаге (решётке). Площадь одной клетки считается равной единице.
Определение. Узлами решётки называются точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий.
Определение. Многоугольник на решётке — многоугольник, все вершины которого являются узлами решётки.
Определение. Простейший треугольник (на решётке) — треугольник на решётке, не содержащий ни внутри, ни на границе ни одного узла решётки, кроме своих вершин.
3.
Доказать, что а) любой многоугольник на клетчатой бумаге можно разбить на простейшие треугольники; б) любое такое разбиение состоит ровно из 2Ni + Ne − 2 треугольничков, где Ni — число узлов решётки, лежащих строго внутри многоугольник, а Ne — число узлов, лежащих на границе (включая вершины).
4*.
Доказать, что площадь любого простейшего треугольника равна ½.

Указание

Указание. Не стóит пытаться перебрать все возможные простейшие треугольники. Попробуйте придумать более хитрое рассуждение.
5.
(Формула Пика, 1899) Доказать, что площадь многоугольника на решётке равна Ni + ½ Ne − 1 (где Ni и Ne имеют тот же смысл, что и в задаче 3).
Определение. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы соответственно равны между собой.
6.
Правильный 2n-угольник вписан в окружность радиуса R. Вычислить длину его стороны.