МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 16. Рекуррентные соотношения

1.

f(x)=x² − px − q называется характеристическим многочленом рекуррентного соотношения a_n=pa_{n − 1} + qa_{n − 2}, n > 2. Докажите, что:

а)

если q=0, то a_n=p^{n − 1}a₁;

б)

если f(x) имеет различные ненулевые корни α и β, то всякое решение данного соотношения имеет вид a_n=C₁αⁿ + C₂βⁿ, где и ;

Указание

Указание. Используя теорему Виета, представьте данное рекуррентное соотношение в виде системы:

в)

если f(x) имеет двойной корень α ≠ 0, то всякое решение данного соотношения имеет вид a_n=C₁αⁿ + C₂nαⁿ, где и .

2.

Решите рекуррентное соотношение .

3.

Пару кроликов поместили в загон. Сколько пар кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Указание

Указание. Обозначьте через a_n количество молодых пар кроликов, а через b_n — количество взрослых пар кроликов на n-ый месяц.

4.

Решите систему рекуррентных соотношений: