МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2005/2006 учебный год

Листок 12. Доказательство неравенств

1.
Доказать неравенства а) 2n > n; б) 4n > 7n − 5; в) 2n > 5n + 1, если n ≥ 5.
2.
Доказать, что если x > −1, то справедливо неравенство (1 + x)n ≥ 1 + nx (n > 1), причем знак равенства имеет место лишь при x = 0.
3.
Доказать неравенство при n > 1.
4.
Доказать неравенства:
а)
;
б)
2!·4!·…(2n)! > ((n + 1)!)n.
5.
Доказать неравенства:
а)
nn + 1 > (n + 1)n (n ≥ 3);
б)
(n ≥ 2).
6.
Доказать неравенство |x1 + x2 + … + xn| ≤ |x1| + |x2| + … + |xn|, где x1, x2, ..., xn — произвольные числа.
7.
Доказать, что если a > 0, b > 0, c > 0, то выполнено неравенство , причём знак равенства имеет место лишь при a=b=c.
8.
Доказать, что если x1· x2·…· xn=1, x1 > 0, x2 > 0, ..., xn > 0, то x1 + x2 + … + xn ≥ n, причём знак равенства имеет место лишь при x1=x2=…=xn=1.
9.
Используя предыдущую задачу, доказать, что если x1 > 0, x2 > 0, ..., xn > 0, то

,

причём знаки равенства имеют место лишь при x1=x2=…=xn.