МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В ряд выложены 100 черных и 100 красных шаров, причём самый левый и самый правый шары чёрные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, чтобы среди них количество красных равнялось количеству чёрных.
 

Докажите, что в шестизначном числе цифры можно переставить так, чтобы разность между суммой трех первых и трех последних цифр находилась бы в промежутке от 0 до 9.
 

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, что бы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
 

Грани восьми единичных кубиков окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных и белых граней поровну. Докажите, что из этих кубиков можно сложить куб 2×2×2, на поверхности которого чёрных и белых квадратиков поровну.
 

В некоторых клетках квадрата 50×50 стоят +1 и –1, причём сумма всех чисел не больше 100 и не меньше –100. Докажите, что есть квадрат 25×25, абсолютная величина суммы чисел в котором не превосходит 25.
 

За круглым столом сидит чётное количество гномов. У каждого на колпаке по несколько помпонов. Причём у любых двух рядом сидящих гномов количество помпонов отличается не более чем на 1. Докажите, что найдётся пара гномов, сидящих друг напротив друга, количества помпонов на колпаках которых отличаются не больше, чем на 1.
 

В посёлок ежедневно приходит не менее двух писем и не более трёх телеграмм. За январь прошлого года писем пришло больше, чем телеграмм, а за весь прошлый год в целом — наоборот. Докажите, что в прошлом году был день, в который количества писем и телеграмм, пришедших в поселок с начала года, совпадали.
 

Хоккейный матч Динамо–Спартак закончился со счетом 8:5 в пользу Динамо. Верно ли, что в ходе матча был момент, когда команда Динамо уже забросила столько шайб, сколько еще оставалось забросить Спартаку до конца матча?
 

В зале находятся n юношей и n девушек, причём не на одной прямой. Всегда ли можно провести по полу прямую черту так, чтобы в каждой из образовавшихся частей зала юношей и девушек было поровну (но не ноль)?