МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Из первых 2003 целых чисел (от 1 до 2003) выбрано 1003 числа. Докажите, что среди выбранных чисел найдется пара таких, что одно из них делится на второе.
 

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В каждой клетке написано одно из чисел 1, 2, 3, ..., 70. Докажите, что существуют четыре различные клетки, центры которых A, B, C, D являются вершинами параллелограмма, а сумма чисел в клетках с центрами А и С равна сумме чисел в клетках с центрами В и D.
 

Разрежьте квадрат на остроугольные треугольники.
 

Можно ли кубик со стороной 1 завернуть в квадратный кусок бумаги со стороной 3?
 

Пусть Е — точка внутри выпуклого многоугольника. Докажите, что существует хотя бы одна сторона многоугольника (обозначим ее A_kA_k-1), что основание перпендикуляра, опущенного на эту сторону из точки Е, принадлежит A_kA_k-1.
 

В некоторых клетках таблицы 65×5 нарисованы снежинки. Докажите, что можно выбрать три строки и три столбца так, что во всех девяти клетках на их пересечении есть снежинки, либо все эти клетки пусты.
 

Снеговики составляли новогодние подарки (из конфет разных сортов). Будем говорить, что подарок снеговика А «больше» подарка снеговика Б, если общее количество конфет тех сортов, которые встречаются у них обоих, у снеговика А больше, чем у снеговика Б. Докажите, что снеговиков можно занумеровать так, что у каждого n-го подарок не меньше, чем у (n + 1)-го.
 

В треугольнике известны длины двух сторон. Какой должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?