|
Занятие 7. Степень точки относительно окружности
|
1. | Через точку М вне данной окружности провели секущую, которая
пересекает окружность в точках А
и В, и касательную МС
(М — точка касания).
а) Докажите равенство MA ·
MB = MC2.
Следствие. Число MA · MB не зависит
от выбора секущей.
б) Выразите MA · MB
через r — радиус окружности и d — расстояние
от М до центра окружности.
в) Пусть точка М лежит внутри окружности,
точки А и В — концы хорды, проходящей через
точку М.
Докажите, что и в этом случае произведение
MA · MB не зависит от выбора хорды,
и выразите MA · MB через r и d. |
Определение.
Пусть d — расстояние от точки М до центра
окружности w, а r — её радиус.
Число d2 - r2 называют
степенью точки М относительно окружности
w.
Обозначение: degwM.
|
2. | Чему равна степень точки,
лежащей на окружности, относительно этой окружности?
| |
3. | Пусть w1 и w2 — две непересекающиеся окружности, ни одна из которых не расположена внутри другой.
а) Найдите хотя бы одну точку, степени которой относительно данных окружностей равны.
б) Найдите три такие точки (подсказка: воспользуйтесь результатом
задачи 1).
| |
4. | Постройте окружность, касающуюся данной прямой и проходящую через две данные точки, лежащие по одну сторону от этой прямой.
| |
5. | Пусть d1 и d2 —
расстояния от точки М до центров
О1 и О2
окружностей w1 и w2.
Докажите равенство d12 -
d22 = p12 -
p22,
где p1 и p2 — проекции
отрезков d1 и d2
на прямую O1O2.
Выведите отсюда, что если
degw1M =
degw2M,
то и для любой другой точки N
перпендикуляра к прямой O1O2,
проведённого через точку М,
справедливо равенство degw1N
= degw1N.
|
Определение. Радикальной осью окружностей
w1 и w2 называют множество всех точек, степени которых относительно
этих окружностей равны.
|
6. | Докажите, что радикальная ось двух неконцентрических окружностей — это прямая, перпендикулярная их линии центров.
| |
7. | Даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что три прямые, являющие радикальными осями первой и второй, второй и третьей, третьей и первой окружностей, проходят через одну точку. Эту точку называют
радикальным центром трёх данных окружностей.
| |
8. | Даны три попарно пересекающиеся окружности. Докажите, что три общие хорды пар данных окружностей проходят через одну точку.
| |
9. | Постройте с помощью циркуля и линейки радикальную ось двух
а) пересекающихся окружностей;
б) непересекающихся окружностей, ни одна из которых не лежит внутри другой;
в) окружностей, одна из которых лежит внутри другой.
| |
10. | На сторонах ВС и
СА остроугольного треугольника АВС взяты две произвольные
точки М и N соответственно. Докажите, что три общие хорды пар окружностей с диаметрами АМ, ВN, АВ пересекаются в ортоцентре треугольника АВС.
|
|
