МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 9.  Сумма Минковского

Определение 1. Пусть даны две фигуры F и G (два множества точек на плоскости или в пространстве). Назовем полусуммой этих фигур множество всех середин отрезков, один конец которых принадлежит F, а другой — G. Обозначим это множество так: F*G.

Найдите полусумму F*G, если

1.  

а) F – точка, G – прямоугольник;
б) F – две точки, G – произвольное множество точек.

2.  

а)F и G – два отрезка с общей вершиной;
б) F – прямоугольник ABCD, G – отрезок AE.

3.  

а) F и G – два отрезка;
б) F – прямоугольник, G – отрезок.

4.  

F и G – два прямоугольника с параллельными сторонами.

5.  

F – прямоугольник, G – правильный треугольник с основанием на большей из сторон прямоугольника.

6.  

F – ломаная, G – треугольник.

7.  

F, G – два непараллельно расположенных прямоугольника.

8.  

F – квадрат, G – круг.

9.  

F, G – два круга разного радиуса.

10.  

Пусть F*G – полусумма фигур F и G, F' – фигура, полученная из F параллельным переносом. Докажите, что фигуры F*G и F'*G равны.

11.  

Докажите, что полусумма выпуклых фигур выпукла. (F называется выпуклой, если для любых точек X,Y, принадлежащих F, весь отрезок с концами X, Y содержится в F).

Определение 2. Суммой F+G фигур F и G называется фигура, "вдвое большая", чем F*G.

Определение 2'. Зафиксируем произвольную точку O. Суммой фигур F+G называется множество всех концов M векторов OM = OP + OQ, где P и Q – произвольные точки фигур F и G соответственно.

12.  

Покажите, что определения 2 и 2' определяют одно и то же.

13.  

Пусть F – выпуклый многоугольник, S – его площадь, P – периметр, K – круг радиуса 1. Найдите площадь F + K.

14.  

Пусть F, G – прямоугольники с параллельными сторонами. Докажите, что SF+G≥((SF)1/2+(SG)1/2)2.

15.  

Пусть l и m – горизонтальные прямые. l разбивает F на две части: верхнюю Fв и нижнюю Fн, аналогично m разбивает G на Gв и Gн. Докажите, что фигуры Fв+Gв и Fн+Gн не перекрываются (лежат в разных полуплоскостях относительно некоторой прямой).

Теорема Брунна - Минковского.
Неравенство SF+G≥((SF)1/2+(SG)1/2)2. выполнено для любых двух выпуклых фигур F и G.

16.  

Изопериметрическая задача. Площадь любого выпуклого многоугольника с периметром P не больше, чем площадь круга с длиной окружности P.
Указание: используя результат задачи 13, примените к сумме F+K неравенство Брунна-Минковского, где F – данный многоугольник, K – круг единичного радиуса.