МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 13. Неравенства

1.	Докажите неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
2.	Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то 2(ab + bc + ac) > a² + b² + c².
3.	Докажите неравенство a² + b² > c²/2, где a, b, c — длины сторон некоторого треугольника.
4.	Докажите теорему: для треугольника со сторонами a, b и c существуют такие положительные числа x, y и z, что a = y + z, b = x + z и c = x + y.
5.	Выразите x, y и z через стороны треугольника.
6.	Докажите, что в треугольнике со сторонами a, b, c выполнено неравенство a(b - c)² + b(c – a)² + c(a – b)² + 4abc > a³ + b³ + c³.
7.	Выразите площадь S, полупериметр p, радиусы R и r описанной и вписанной в треугольник окружности через соответствующие числа x, y и z.
8.	Докажите, что для треугольника со сторонами a, b, c выполнено неравенство a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² ≥ 4 · (3)^1/2S.
9.	Докажите, что для треугольника со сторонами a, b и c выполнено неравенство 1/(p - a)² + 1/(p - b)² + 1/(p - c)² ≥ 1/r².
10.	Докажите, что для треугольника со сторонами a, b и c выполнено неравенство p^1/2 < (p - a)^1/2 + (p - b)^1/2 + (p – c)^1/2 ≤ (3p)^1/2.
11.	Сформулируйте утверждение, обратное к теореме 4. Докажите или опровергните его.