МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 2. Странные игроки

Тридцать три богатыря устроили соревнования по борьбе. Каждый боролся с каждым ровно один раз. Победа давала 1 очко, поражение — 0, а ничьих не было. Один богатырь выступил странно. Он победил всех, кто набрал очков больше, чем он, и проиграл тем, кто набрал очков меньше него. Равного с ним количества очков не набрал никто. Докажите, что странный богатырь занял место не выше 13-го и не ниже 21-го.

Рассмотрим турниры, где допускают ничьи (ничья приносит 1/2 очка). Странным будем называть борца, выигравшего у всех, кто набрал очков больше, чем он, и проиграл всем, кто набрал очков меньше. С теми, кто выступил наравне с ним, такой богатырь мог бороться как угодно.

2.	Могли ли на первом месте в таком турнире оказаться только странные борцы (при условии, что мест было хотя бы два)?
3.	Докажите, что все странные богатыри набрали поровну очков.
4.	Известны результаты всех богатырей. Известно к тому же, что в турнире были странные участники. Можно ли узнать, сколько очков они набрали?
5.	Докажите, что если в круговом турнире все участники, кроме одного, получили одинаковое число очков, то этот участник либо у всех выиграл, либо всем проиграл.
6.	В ряд выписаны числа от 1 до 2002. Двое по очереди вычёркивают по одному числу до тех пор, пока не останутся только два числа. Первый выигрывает, если сумма оставшихся чисел делится на 3, второй — если не делится. Кто выиграет при правильной игре?
7.	На шахматной доске в угловой клетке стоит король. Двое по очереди ходят королём (по шахматным правилам). Ставить короля в клетку, где он уже был, нельзя. Тот, кто не может сделать хода, проиграл. Кто выиграет при правильной игре?