МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 11.  Окрестность фигуры

1.  

В квадрат со стороной 1 бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.
 

2.  

Внутри квадрата площади S расположено 2003 фигуры, суммарная площадь которых больше 2002S. Докажите, что в этом квадрате найдётся точка, накрытая всеми 2003 фигурами.

Определение. Расстоянием от точки A до фигуры F называют наименьшее из расстояний (точнее, точную нижнюю грань расстояний) от точки А до точек фигуры F.

3.  

Найдите расстояние от начала координат до квадрата с вершинами (3/2;0), (5/2;1), (3/2;2), (1/2;1).

Определение. Окрестностью радиуса R (или R-окрестностью) плоской фигуры Ф называют множество всех точек плоскости, расстояние от которых до фигуры Ф меньше R.

4.  

Докажите, что в круге радиуса 10 нельзя поместить 450 точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя из них было больше 1.
 

5.  

Дан выпуклый многоугольник площади S и периметра P. Найдите площадь его R-окрестности.
 

6.  

В прямоугольник 20×25 бросили а) 120; б) 130 единичных квадратов. Докажите, что в этот прямоугольник ещё можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
 

7.  

Докажите, что в выпуклый четырёхугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.