МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 3.  Вокруг чисел

1.  

Найдите все такие натуральные k, при которых число 2k + 1 является квадратом натурального числа.
 

2.  

Можно ли записать натуральное число и его квадрат, использовав каждую из десяти цифр 0, 1, 2, ..., 8, 9 ровно один раз?
 

3.  

Петя умножает число 2002 на правильную дробь так, чтобы результат оказался снова натуральным числом. С результатом он проделывает то же самое, и так далее. Какое наибольшее количество умножений он сможет проделать?
 

4.  

Известно, что f(x – y) = f(x)f(y) для любых x и y. Найдите все такие функции f.
 

5.  

Числа от 1 до 2n переставили в некотором порядке: a1, a2, ..., a2n.
a) Какое максимальное значение может принимать выражение

|a1 - a2| + |a2 - a3| + ... + |a2n–1 - a2n|?

б) Сколько существует различных перестановок, для которых значение этого выражения будет максимальным?
 
6.  

Множество T рациональных чисел назовём полным, если для каждой дроби p/q из множества Т дроби p/(p + q) и q/(p + q) тоже содержатся в T. Найдите все такие положительные рациональные числа r, что любое полное множество, содержащее число r, содержит все рациональные числа между 0 и 1.
 

7.  

ABCD — квадрат. Докажите, что для любой точки O плоскости верно неравенство OA + OB + OC > OD.