МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 7. Треугольник Паскаля

Построим (бесконечный) равнобедренный треугольник из натуральных чисел по следующим правилам:

• в вершине и вдоль боковых сторон стоят единицы;
• в каждой следующей строке на одно число больше, чем в предыдущей;
• каждое число, кроме уже написанных единиц, равно сумме двух чисел, стоящих в предыдущей строке чуть левее и чуть правее.

1.

Выпишите треугольник Паскаля до десятой строки включительно (первой считаем строку, состоящую из двух единиц).

2.

Сколько чисел в 2014–й строке треугольника Паскаля?

3.

Докажите, что в каждой строке треугольника Паскаля числа до середины идут по возрастанию, а от середины — по убыванию.
(Подсказка: докажите, что если это верно для строки с номером n, то это верно и для строки с номером n + 1.)

4.

a)

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 2014?

б)

Сколько раз в треугольнике Паскаля встречается число 10?

в)

Приведите пример натурального числа, большего единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля больше четырёх раз.

5.

a)

Во сколько раз сумма чисел в шестой строке треугольника Паскаля больше суммы чисел в его пятой строке?

б)

Тот же вопрос про 2014-ю и 2015-ю строки.

6

a)

Поставим знаки «+» и «−» между числами в 99–й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом поставим знак «−», между вторым и третьим «+», между третьим и четвёртым «−», потом опять «+», и так далее. Докажите, что значение полученного выражения равно нулю.

б)

То же верно и для 100–й строки. Докажите!

7

Сколькими способами, двигаясь по таблице (см. рисунок ниже) от буквы к букве, можно прочитать слово МЕХМАТ? От каждой буквы можно переходить только к букве, стоящей в следующей строке чуть правее или чуть левее.

М Е Е Х Х Х М М М М А А А А А Т Т Т Т Т Т

8

Чему равна сумма чисел, стоящих:

a)

в третьей строке;

б)

в четвёртой строке;

в)

в седьмой строке;

г)

в n-й строке треугольника Паскаля?

9

Будем двигаться по треугольнику Паскаля по тем же правилам, что в задаче 7. Докажите, что количество способов дойти по таким правилам от самой верхней единицы до любого числа n в треугольнике Паскаля в точности равно n.

10

a)

Какие строки треугольника Паскаля состоят целиком из чётных чисел (не считая единиц в начале и конце строки)?

б)

А какие целиком из нечётных чисел?