МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2014/2015 учебный год

Занятие 7. Треугольник Паскаля

Построим (бесконечный) равнобедренный треугольник из натуральных чисел по следующим правилам:

  • в вершине и вдоль боковых сторон стоят единицы;
  • в каждой следующей строке на одно число больше, чем в предыдущей;
  • каждое число, кроме уже написанных единиц, равно сумме двух чисел, стоящих в предыдущей строке чуть левее и чуть правее.
Получим такой треугольник:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … …

1.
Выпишите треугольник Паскаля до десятой строки включительно (первой считаем строку, состоящую из двух единиц).
2.
Сколько чисел в 2014–й строке треугольника Паскаля?
3.
Докажите, что в каждой строке треугольника Паскаля числа до середины идут по возрастанию, а от середины — по убыванию.
(Подсказка: докажите, что если это верно для строки с номером n, то это верно и для строки с номером n + 1.)
4.
a)
Встречается ли в треугольнике Паскаля число 2014?
б)
Сколько раз в треугольнике Паскаля встречается число 10?
в)
Приведите пример натурального числа, большего единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля больше четырёх раз.
5.
a)
Во сколько раз сумма чисел в шестой строке треугольника Паскаля больше суммы чисел в его пятой строке?
б)
Тот же вопрос про 2014-ю и 2015-ю строки.
6
a)
Поставим знаки «+» и «−» между числами в 99–й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом поставим знак «−», между вторым и третьим «+», между третьим и четвёртым «−», потом опять «+», и так далее. Докажите, что значение полученного выражения равно нулю.
б)
То же верно и для 100–й строки. Докажите!
7
Сколькими способами, двигаясь по таблице (см. рисунок ниже) от буквы к букве, можно прочитать слово МЕХМАТ? От каждой буквы можно переходить только к букве, стоящей в следующей строке чуть правее или чуть левее.

М
Е Е
Х Х Х
М М М М
А А А А А
Т Т Т Т Т Т

8
Чему равна сумма чисел, стоящих:
a)
в третьей строке;
б)
в четвёртой строке;
в)
в седьмой строке;
г)
в n-й строке треугольника Паскаля?
9
Будем двигаться по треугольнику Паскаля по тем же правилам, что в задаче 7. Докажите, что количество способов дойти по таким правилам от самой верхней единицы до любого числа n в треугольнике Паскаля в точности равно n.
10
a)
Какие строки треугольника Паскаля состоят целиком из чётных чисел (не считая единиц в начале и конце строки)?
б)
А какие целиком из нечётных чисел?