МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 11. Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

1.

В треугольнике провели три средние линии.

a)

Докажите, что они разбивают его на четыре равных треугольника.

б)

Найдите периметр каждого из них, если периметр исходного треугольника равен 28.

2.

Длины двух сторон треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр полученного четырёхугольника.

3.

Средняя линия, параллельная стороне AC треугольника ABC, равна половине стороны AB. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

4.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если даны середины трёх его сторон.

5.

Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём BM = 3AM и CN = 3AN.

a)

Докажите, что MN || BC.

б)

Найдите MN, если BC = 12.

6

a)

Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

б)

Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма.

7

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.

8

a)

Одна из сторон треугольника равна a. Найдите длину отрезка, соединяющего середины медиан, проведённых к двум другим сторонам.

б)

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований.

в)

Докажите, что средняя линия трапеции (то есть отрезок, соединяющий середины её боковых сторон) параллельна её основаниям и равна их полусумме.

9

С помощью циркуля и линейки постройте пятиугольник, если даны середины всех его сторон.

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь задачей 6.