МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 17. ММО: арифметика, алгебра, целые числа

1.

На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке? Все браки заключены только между жителями острова.

2.

КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР — трёхзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.)

3.

Петин счёт в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает только снимать со счёта 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счёта, если других денег у него нет?

4.

Известно, что ax³ + bx² + cx + d, где a, b, c, d — заданные целые числа, при всех целых x делится на 5. Докажите, что числа a, b, c, d делятся на 5.

5.

Найдите какое–нибудь решение уравнения a²b² + a² + b² + 1 = 2005 в целых числах.

6

Придумайте такое десятизначное число, в записи которого нет нулей, что при прибавлении к нему произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр.

7

Известно, что квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 и bx² + cx + a = 0 (a, b и c — отличные от нуля числа) имеют общий корень. Найдите его.

8

Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие–то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?

9

На доске написано: «В этом предложении … % цифр делятся на 2, … % цифр делятся на 3, а … % цифр делятся и на 2, и на 3.» Вставьте вместо многоточий какие-нибудь целые числа так, чтобы написанное на доске утверждение стало верным.

10

В уравнении x² + px + q = 0 коэффициенты p и q увеличили на 1. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример таких p и q, чтобы у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.