МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 12. «Математическая драка»

1.

Маша заменила в примере на умножение двузначных чисел цифры буквами: одинаковые – одинаковыми, разные – разными. У неё получилось АБ·ВГ = БББ Каким мог быть исходный пример? Найдите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. 37×21 = 777 или 15×37 = 555

2.

Оля задумала четыре целых числа, а затем нашла все их попарные суммы. Пять из них оказались равны 70, 110, 120, 180 и 230. Чему равна шестая сумма?

Ответ

Ответ. Шестая сумма равна 190

3.

Все четырехзначные числа, цифры которых различны и стоят в порядке возрастания, выписали друг за другом — снова в порядке возрастания. Какое число стоит на 97–м месте?

Ответ

Ответ. Число 3468

4.

Сколькими способами можно расставить числа 1 и −1 во всех клетках таблицы 4×4 так, чтобы сумма всех чисел в каждой строке и в каждом столбце была равна 0?

Ответ

Ответ. 90 способами

5.

На карточке у каждого из 11 школьников написано какое–то натуральное число. Известно, что все эти числа различны, а их сумма равна 71. Чему может быть равно среднее по величине из написанных чисел?

Ответ

Ответ. Среднее число равно 6

6

Сколько существует пятизначных чисел, десятичная запись которых начинается с 1 и содержит ровно две одинаковые цифры?

Ответ

Ответ. 5040 чисел

7

Найдите наименьшее натуральное n такое, что все 73 дроби 19/(n+21), 20/(n+22), 21/(n+23), …, 91/(n+93) несократимы.

Ответ

Ответ. 95

8

В каждой клетке квадрата 3×3 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате не оказалось трех монет, расположенных в одной вертикали, одной горизонтали или одной диагонали и лежащих одинаково (то есть все три орлом вверх или все три решкой вверх)?

Ответ

Ответ. 4 монеты

9

Пусть A — двузначное число, не кратное 10. B — трехзначное число. Известно, что A% от B равны 400. Найдите, чему могут быть равны А и B.

Ответ

Ответ. А = 64, B = 625

10

Грузчики Коля и Петя носят ящики. Переноска маленького ящика занимает у Пети 1 минуту, а у Коли 3 минуты. Зато большой ящик Коля переносит за 5 минут, а Петя — за 6. Всего им нужно перенести 10 больших и 10 маленьких ящиков. За какое наименьшее время они могут это сделать?

Ответ

Ответ. За 33 минуты

11

Найдите 2009–й член последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1…

Ответ

Ответ. 29

12

Прямая, проходящая через вершину A и точку E на стороне BC прямоугольника ABCD, делит прямоугольник на две части: треугольник ABE и трапецию AECD. Известно, что S_ABE : S_AECD = 1/6. Найдите BE : EC.

Ответ

Ответ. BE : EC = 2 : 5

13

Треугольная числовая таблица построена таким образом: в вершине, составляющей нулевую строчку, стоит число 0, в n–й строчке на левом и правом концах стоит по числу n, и между каждыми двумя соседними числами n–ой строчки в (n+1)–ой стоит их сумма. Найдите сумму всех чисел в сотой строчке.

Ответ

Ответ. 2¹⁰¹ − 2

14

Все цифры трехзначного числа N различны. Из этих цифр составляют всевозможные двузначные числа с неравными цифрами. Найдите все N, для которых сумма всех составленных двузначных чисел равна 2N.

Ответ

Ответ. N = 198