МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 2. Просто о простых

Определение. Простое число — это натуральное число, большее единицы, которое делится нацело только на единицу и на само себя. Остальные натуральные числа, большие единицы, называют составными. Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.

Теорема 1. Чтобы проверить, является ли натуральное число n составным, достаточно проверить, делится ли оно на какое-нибудь из простых чисел, не превосходящих √n.
(По определению √n — это такое неотрицательное число, что (√n)² = n.)

Теорема 2 (основная теорема арифметики). Каждое натуральное число можно разложить на простые множители, причём такое разложение единственно с точностью до перестановки этих множителей.

1.

Являются ли простыми следующие числа: 79; 461; 1001; 2817? Составные числа разложите на простые множители.

2.

Представьте число 200000 в виде произведения двух чисел, в десятичной записи которых нет нулей.

3.

a)

Может ли число 2ⁿ оканчиваться нулём при каком-нибудь натуральном n?

б)

Может ли квадрат натурального числа оканчиваться ровно пятью нулями?

4.

Натуральное число умножили на произведение его цифр и получили:

a)

1533;

б)

366. Найдите исходное число в каждом из этих случаев.

5.

Сколько различных делителей у числа:

a)

81;

б)

36;

в)

2⁴·5⁷·11⁵;

г)

p^a·q^b·r^c (p, q, r — различные простые числа, a, b, c — натуральные)?

6

Приведите пример целого числа, у которого ровно 2014 делителей.

7

Число 2n имеет ровно 15 различных натуральных делителей. Сколько различных натуральных делителей может иметь число n?

8.

Сколько существует различных натуральных чисел, у которых самый большой делитель, не считая самого числа, равен 55?

9.

Докажите, что натуральное число является полным квадратом тогда и только тогда, когда оно имеет нечётное число делителей.

10.

Квадрат натурального числа умножили на куб другого натурального числа. Могло ли в результате получиться:

a)

112?

б)

175830?

11.

Вычеркните из произведения 1! · 2! · 3! · … · 99! · 100! один из факториалов, чтобы оставшееся произведение было квадратом целого числа.