МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 6. Cумма углов треугольника

Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

1.

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC. Известно, что ∠ABM=∠ACB и ∠CBN=∠BAC. Докажите, что треугольник BMN равнобедренный.

2.

Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Отрезок AM делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями AB и MC. Найдите угол B.

3.

Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.

4.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Известно, что ∠AKB : ∠CKB = 4 : 5. Найдите ∠A − ∠C.

5.

В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки K и M, причем AK=AC и BM=BC.Найдите угол MCK.

6

На плоскости отметили пять точек A, B, C, D, E, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Их соединили отрезками: AC, CE, EB, BD, DA. В результате получилась пятиконечная звезда. Докажите, что ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°.

7

В треугольнике ABC ∠B = 20°, ∠C = 40° Биссектриса AD равна 2. Найдите разность длин сторон BC и AB.

8

Барон Мюнхгаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярдного стола, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, пришёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могло ли это быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону «угол падения равен углу отражения »).