МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2014/2015 учебный год

Занятие 3. НОД и НОК

Определение. Наибольший общий делитель целых чисел a и b — это наибольшее натуральное число c такое, что a делится на c и b делится на c. Обозначается НОД(a, b) или просто (a, b). Аналогично определяется НОД нескольких целых чисел.

Определение. Наименьшее общее кратное целых чисел a и b — это наименьшее натуральное число c такое, что c делится на a и c делится на b. Обозначается НОК(a, b) или [a, b]. Аналогично определяется НОК нескольких целых чисел.

Теорема 1. Пусть числа a и b разложены на простые множители: a = p1m1 … pkmk , b = p1n1 … pknk , где mi ≥ 0, ni ≥ 0. Тогда их НОД и НОК можно найти по формулам:

НОД(a, b) = p1min{m1,n1}· … ·pkmin{mk,nk} ,
НОК(a, b) = p1max{m1,n1}· … ·pkmax{mk,nk} .

Теорема 2. Для любых двух целых чисел a и b имеет место равенство НОД(a, b) · НОД(a, b) = a·b

1.
Вычислите (без калькулятора!):
a)
(8, 64) и [8, 64];
б)
(36, 60) и [36, 60];
в)
(125, 1534569) и [54, 163];
г)
(23· 315· 719, 231· 32· 113) и [23·32·52, 22·33·53]
2.
Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором — ⅔ объёма, а в третьем — ¾ его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака это возможно?
3.
Ровно в полдень Клайв закрасил число 12 на циферблате часов красным цветом и решил через каждые 57 часов закрашивать текущий час в красный цвет.
a)
Сколько чисел окажутся покрашенными через месяц?
б)
А если Клайв будет красить их каждый 1913-й час в течение всей жизни?
4.
a)
Про натуральные числа a и b известно, что 15a = 14b и (a, b) = 13. Найдите a и b.
б)
a и b — целые числа, удовлетворяющие равенству 56a = 65b. Докажите, что a + b — составное число.
5.
a)
Объясните, почему в теореме 1 можно считать, что числа a и b имеют один и тот же набор простых множителей p1, … ,pk. (Обратите внимание, что некоторые mi и ni могут быть равны нулю!)
б)
Докажите теорему 1.
в)
С помощью теоремы 1 докажите теорему 2.
г)
Когда НОК(a, b) = ab?
6
Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдется число, взаимно простое с остальными.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS