МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 4 (18 октября 2014). Разбиение на пары

1.

Найдите сумму всех четных чисел от 2 до 2014.

2.

На шахматной доске стоят 11 пешек. Их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что хотя бы одна пешка стоит на ней.

3.

Докажите, что из 2013 полосок бумаги шириной 1 и длинами 1, 2, ..., 2013 можно составить прямоугольник, длина и ширина которого больше 1.

4.

По окончании игры все кости домино выложены в цепочку. На одном конце 5, что на другом?

5.

В роте 100 человек. Каждую ночь дежурят трое. Можно ли так организовать дежурство, чтобы через некоторое время каждый единожды подежурил с каждым?

6.

В куче 2010 камней. Двое по очереди берут из кучи от 1 до 9 камней. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнёр?

7.

Двое играют в игру в квадрате 8×8. Первый может своим ходом закрасить любую клетку квадрата. А второй может своим ходом любой уголок из трех клеток. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

8.

Двое играют в игру. На доске 8×8 стоит фишка. За один ход её можно передвинуть на соседнюю по стороне клетку, при этом нельзя её ставить в клетки, где фишка уже побывала. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

9.

Найдите сумму всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4.

10.

10-значное число a₁ a₂ a₃ a₄ ... a₉ a₁₀ назовем хорошим, если a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + a₅ − a₆ + a₇ − a₈ + a₉ − a₁₀ > 0. Докажите, что хороших чисел столько же сколько и не хороших.