МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2014/2015 учебный год
Группа «А» Группа «Б» Группа «К» (ст. преп. Л. Н. Колотова) Группа «В» (ст. преп. А. С. Воропаев)
Группа К (старший преподаватель Л. Н. Колотова)

Занятие 4 (18 октября 2014). Разбиение на пары

1.
Найдите сумму всех четных чисел от 2 до 2014.
2.
На шахматной доске стоят 11 пешек. Их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что хотя бы одна пешка стоит на ней.
3.
Докажите, что из 2013 полосок бумаги шириной 1 и длинами 1, 2, ..., 2013 можно составить прямоугольник, длина и ширина которого больше 1.
4.
По окончании игры все кости домино выложены в цепочку. На одном конце 5, что на другом?
5.
В роте 100 человек. Каждую ночь дежурят трое. Можно ли так организовать дежурство, чтобы через некоторое время каждый единожды подежурил с каждым?
6.
В куче 2010 камней. Двое по очереди берут из кучи от 1 до 9 камней. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнёр?
7.
Двое играют в игру в квадрате 8×8. Первый может своим ходом закрасить любую клетку квадрата. А второй может своим ходом любой уголок из трех клеток. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
8.
Двое играют в игру. На доске 8×8 стоит фишка. За один ход её можно передвинуть на соседнюю по стороне клетку, при этом нельзя её ставить в клетки, где фишка уже побывала. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
9.
Найдите сумму всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4.
10.
10-значное число a1 a2 a3 a4 ... a9 a10 назовем хорошим, если a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 + a7 − a8 + a9 − a10 > 0. Докажите, что хороших чисел столько же сколько и не хороших.