МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Дмитрий Александрович Коробицын и Дмитрий Викторович Шелаев
2013/2014 учебный год

Версия для печати

Занятие 20 (5 апреля 2014 года). Вписанные углы

Упражнения:

1.
Докажите, что вписанный угол равен половине меры градусной дуги, на которую он опирается:
а)
одна из сторон угла проходит через центр окружности;
б)
произвольный вписанный угол.
2.
Докажите, что вписанный угол между касательной и хордой, проходящими через одну точку окружности, равен половине дуги, стягиваемой хордой.

Задачи:

Определение. Вневписанный угол λ — угол, образованный двумя прямыми (AB и CD), пересекающими окружность (рис. 1, 2).

1.
Выразите вневписанный угол λ через углы γ и ϕ
а)
в случае рис. 1;
б)
в случае рис. 2.
2.
(Критерий вписанности четырёхугольника) Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.
3.
Шестиугольник ABCDEF — вписанный (все его вершины лежат на одной окружности), причём ABDE и BCEF. Докажите, что CDAF.

Определение. Вписанная N-конечная k-звезда — звезда, построенная следующим образом: на окружности берётся N пронумерованных по часовой стрелке точек, первую вершину соединяем с (k+1)-й, (k+1)-ю — c (2k+1)-й и т. д.

4.
Нарисуйте вписанную 7-конечную 2-звезду и найдите сумму её углов.
5.
Найдите сумму углов вписанной N-конечной k-звезды.
6.
Найдите сумму углов 2014-конечной 3-звезды и 100500-конечной 7-звезды.
7.
(Прямая Симсона) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой.
8.
(Задача Архимеда) В дугу AB окружности вписана ломаная AMB из двух отрезков (AM > MB). Докажите, что основание перпендикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам, т.е. AH = HM + MB.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS