МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Чередование и чётность (28 сентября 2013 года)

1.

По кругу расположены 9 шестеренок так, что первая шестеренка сцеплена со второй, вторая – с третьей, …, восьмая – с девятой, девятая – с первой. Миша крутанул первую шестеренку по часовой стрелке. Что произошло? Почему?

2.

На доске 2013×2013 расставлено 2013 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

3.

Можно ли на чашечных весах расположить несколько шести- и восьмифунтовых гирь и одну 17-фунтовую так, чтобы весы оказались в равновесии?

4.

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 17-тизвенной ломаной, пересекать все ее звенья?

5.

Докажите, что число способов расставить на доске 8 ферзей так, чтобы они не били друг друга – четно.

6.

Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании присутствовали все, и никто не воздержался при голосовании. Когда было объявлено, что некоторое решение было принято большинством с перевесом в 23 голоса, оппозиция закричала "Это обман!". Почему?

7.

Может ли шахматный конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

8.

В разные моменты времени из пунктов А и В выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Встретившись в точке С, они тотчас развернулись и поехали обратно. Доехав до своих пунктов, они опять развернулись и поехали навстречу друг другу. На этот раз они встретились в точке D и, развернувшись, вновь поехали к своим пунктам. И т.д. В какой точке отрезка АВ произойдет их 2013 встреча?

9.

Однажды, гуляя в лесу, Маша обнаружила полянку, вокруг которой росли сосны. Маша выяснила, что высота любых двух соседних сосен отличается ровно на 1 метр. Могло ли на полянке быть ровно а) 3; б) 4; в) 2013; г) 2014 сосен?

10.

Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см, в третий – на 3 см, и так далее. Докажите, что он не сможет за 2014 прыжков вернуться в начальную точку.

11.

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая на 90° каждые 30 минут. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только а) через целое число часов; б) через четное число часов.

12.

17 девочек и 17 мальчиков встали в хоровод. Докажите, что у кого-то с обеих сторон стоят девочки.