МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Комбинаторика (26 октября 2013 года)

1.

Кощей Бессмертный, желая сделать Бабе Яге подарок на Новый Год, приобрел кучу метелок трех сортов, ступы 5 видов и головные платки 7 расцветок. Он хочет каждый Новый Год дарить Яге 1 метлу, 1 ступу и 1 платок, но так, чтобы ни в один год наборы подарков не совпадали. На сколько лет ему хватит приобретенных товаров? (Считайте, что количество приобретенных предметов сколь угодно велико.)

2.

Монету бросают трижды. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно получить? А если монету бросать 100 раз?

3.

Назовем число симпатичным, если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует

а)

пятизначных симпатичных чисел;

б)

пятизначниых несимпатичных чисел?

4.

В алфавите племени Умбо–Юмбо всего три буквы: А, У и О. Словом считается любая последовательность букв, содержащая не более, чем 4 буквы. Сколько слов в языке племени Умбо–Юмбо?

5.

В классе 10 учеников. Сколькими способами можно разбить этот класс а) на две; б) на три не обязательно равные непустые группы? (Назначения групп различны!)

6.

В классе из 25 человек требуется выбрать а) старосту и его заместителя; б) двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

7.

Сколько диагоналей имеет выпуклый а) 25-тиугольник б) n-угольник?

В следующих двух задачах нужно считать, что белые фигуры могут бить друг друга:

8.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску а) белую и черную ладьи; б) две белых ладьи так, чтобы они не били друг друга?

9.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску а) белого и черного королей; б) двух белых королей так, чтобы они не били друг друга?

10.

Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть 1 или остальных?

11.

В 7М классе учится 26 человек. Сколькими способами их можно выстроить в ряд при условии, что

а)

Ваня и Женя должны обязательно стоять рядом;

б)

Ваня и Женя ни в коем случае не должны стоять рядом.