МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Принцип крайнего (19 октября 2013 года)

1.

По кругу выписаны 2004 числа, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.

2.

Известно, что если у двух шестиклассников поровну знакомых в своей параллели, то общих знакомых у них нет. Варя знает 20 ребят. При этом известно, что ни у кого из ребят нет больше 20 знакомых. Докажите, что есть еще хотя бы один шестиклассник, у которого тоже ровно 20 знакомых на параллели.

3.

На шахматной доске стоит несколько а) ладей; б) ферзей. Обязательно ли найдется фигура, бьющая не более двух других?

4.

В Горностайском кружке прошло соревнование по перетягиванию каната, в результате все оказались занесены в список по убыванию силы. Дмитрий Владимирович задумался: верно ли, что любые трое перетянут любых двоих? За сколько перетягиваний он сможет это установить?

5.

У геолога есть чашечные весы без гирь и 8 камней. Он хочет знать, верно ли, что два камня всегда тяжелее одного. Как ему гарантированно проверить это

а)

за 19 взвешиваний;

б)

за 13 взвешиваний?

6.

25 астрономов на двадцати пяти разных планетах наблюдают друг за другом, причем каждый наблюдает за ближайшим к нему (среди расстояний между планетами нет одинаковых). Докажите, что

а)

есть две планеты, астрономы которых наблюдают друг за другом;

б)

хотя бы за одним астрономом никто не наблюдает.

7.

На полях доски 8 × 8 расставлены числа 1, 2, ..., 64. Докажите, что найдется пара соседних по стороне клеток, числа в которых отличаются не менее чем на 5.

8.

В марсианском метро с любой станции можно проехать на любую. Докажите, что можно так выбрать станцию и закрыть ее на ремонт (без права проезда через нее), что по-прежнему можно будет проехать с любой оставшейся станции на любую оставшуюся.

9.

Шахматная доска разбита на доминошки. Докажите, что какая-то пара домино образует квадратик 2 × 2.

10.

Семь грибников собрали вместе 59 грибов, причем каждый собрал разное количество. Докажите, что какие-то три грибника собрали вместе не менее 33 грибов.