МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Многочлены (26.09.2009)

1.

Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что у каждого из уравнений ax² + bx + c = 0, ax² + bx − c = 0, ax² − bx + c = 0, ax² − bx − c = 0 оба корня целые?

2.

Длины сторон многоугольника равны a₁, a₂, …, a_n. Квадратный трёхчлен f(x) таков, что f(a₁) = f(a₂ + … + a_n). Докажите, что если A — сумма длин нескольких сторон многоугольника, а B — сумма длин остальных сторон, то f(A) = f(B).

3.

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа a₁, a₂, … a₁₀, что уравнение

(x − a₁)(x − a₂)…(x − a₁₀)=(x + a₁)(x + a₂)…(x + a₁₀)

будет иметь ровно 5 различных действительных корней.

4.

Существуют ли такие два многочлена ненулевых степеней P(x) и Q(x), что

P(Q(x)) + Q(P(x))=P(x) · Q(x).

5.

P(x) — многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение P(P(x))=0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P(x)=0.

6.

Квадратный трёхчлен f(x) разрешается заменять на один из трёхчленов x²f(¹/_x + 1) или (x − 1)²f(¹/_{x − 1}). Можно ли с помощью таких операций из трёхчлена x² + 4x + 3 получить x² + 10x + 9?

7.

Дан многочлен P(x) степени 2009 с действительными коэффициентами, причём старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел a₁, a₂, a₃, … такая, что P(a₁)=0, P(a₂)=a₁, P(a₃)=a₂, и т.д. Докажите, что не все числа в этой последовательности различны.