МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Коммутирующие многочлены (07.11.2009)

Говорят, что многочлены P и Q коммутируют между собой, если P(Q(x)) = Q(P(x)) при всех x, или, эквивалентно, многочлены P(Q(x)) и P(Q(x)) — одинаковые, то есть имеют одинаковые коэффициенты.

Основная проблема. Найти все пары (P,Q) коммутирующих многочленов. Частные случаи этой проблемы заключаются в поиске пар (P,Q) при дополнительных условиях, наложенных на многочлены.

1.

а) Решите основную проблему при условии, что deg(P) = deg(Q) = 1; б) при условии, что deg(P) ≤ 1.

2.

Решите основную проблему при условии P(x) = x² − a, deg(Q) ≤ 3 и при каждом a.

3.

Докажите, что для каждого многочлена P второй степени и для каждого натурального числа d существует не более одного коммутирующего с P многочлена Q степени d со старшим коэффициентом 1.

4.

Решите основную проблему для всякого многочлена P второй степени и для deg(Q)=2, deg(Q)=4, deg(Q)=8.

5.

Докажите, что если многочлены Q и R коммутируют с многочленом P второй степени, то они коммутируют между собой.

Подсказка

Подсказка. Используйте результат задачи 3.

6.

а) Придумайте какие-нибудь бесконечные серии попарно коммутирующих многочленов; б) Докажите, что существует последовательность попарно коммутирующих многочленов {P_n} таких, что deg(P_n) = n и P₂ (x) = x² − 2.

7.

При каких a существует многочлен нечётной степени, коммутирующий с многочленом P из задачи 2?

8.

Пусть многочлены P и Q коммутируют, их старшие коэффициенты равны 1 и deg(P) делится на deg(Q). Верно ли, что тогда P(x) = Q(R(x)) , где R — некоторый многочлен, коммутирующий с Q?