МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Окружности на плоскости (14.11.2009)

1.

Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A — средний по величине.

2.

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка K лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки K, равны.

3.

Точка M — середина стороны BC равнобедренного треугольника ABC (AB=BC). Прямая, проходящая через точку M параллельно AC, пересекает в точке K не содержащую точку A дугу BC описанной около треугольника ABC окружности. Докажите, что если AM=AC, то MK=AC⁄2.

4.

Дана окружность с диаметром AB. Другая окружность с центром в точке A пересекает отрезок AB в точке C, причём AC<½AB. Общая касательная двух окружностей касается первой из них в точке D. Докажите, что прямая CD перпендикулярна AB.

5.

В квадрате ABCD взяты такие точки P и Q такие, что ∠BAP=60°, ∠ABP=30°, ∠DCQ=∠CDQ=45°. Прямые PQ и CD пересекаются в точке T. Найдите ∠PTD.

6.

В ромбе ABCD величина угла B равна 40°, E — середина BC, F — основание перпендикуляра, опущенного из A на DE. Найдите величину угла DFC.

7.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB и BC точка O — центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO, точка M₁ симметрична M относительно середины AB. K — точка пересечения M₁O и AB. Точка L на стороне BC такова, что ∠CLO=∠BLM. Докажите, что точки O, K, B, L лежат на одной окружности.