МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Разная геометрия (23.01.2010)

1.

Точка K вне равностороннего треугольника ABC такова, что угол AKB = 60°, а точки K и C лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что биссектриса угла AKB проходит через центр треугольника ABC.

2.

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC — точки E и M так, что DA + AE = KC + CM = AB. Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.

3.

Дана прямоугольная трапеция ABCD с прямыми углами A и D (AB > CD). Известно, что биссектриса угла ABC пересекает AD в середине. Докажите, что BC = AB + CD.

4.

Дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = AD и ∠ABC = ∠ADC = 90°. На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF ⊥ AE. Докажите, что AF ⊥ BE.

5.

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что наибольший и наименьший углы прилегают к одной стороне.

6.

AA₁, BB₁, CC₁ — высоты остроугольного треугольника ABC; O_A, O_B, O_C — центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C — точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

7.

Дан треугольник ABC и точки P и Q, лежащие на его описанной окружности. Точку P отразили симметрично относительно прямой BC и получили точку P_a. Точку пересечения прямых QP_a и BC обозначим A'. B' и C' строятся аналогично. Докажите, что точки A', B', C' лежат на одной прямой.