МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2009/2010 учебный год

Разная геометрия (23.01.2010)

1.
Точка K вне равностороннего треугольника ABC такова, что угол AKB = 60°, а точки K и C лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что биссектриса угла AKB проходит через центр треугольника ABC.
2.
На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC — точки E и M так, что DA + AE = KC + CM = AB. Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.
3.
Дана прямоугольная трапеция ABCD с прямыми углами A и D (AB > CD). Известно, что биссектриса угла ABC пересекает AD в середине. Докажите, что BC = AB + CD.
4.
Дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = AD и ∠ABC = ∠ADC = 90°. На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DFAE. Докажите, что AFBE.
5.
Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что наибольший и наименьший углы прилегают к одной стороне.
6.
AA1, BB1, CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC; OA, OB, OC — центры вписанных окружностей треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно; TA, TB, TC — точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника TAOCTBOATCOB равны.
7.
Дан треугольник ABC и точки P и Q, лежащие на его описанной окружности. Точку P отразили симметрично относительно прямой BC и получили точку Pa. Точку пересечения прямых QPa и BC обозначим A'. B' и C' строятся аналогично. Докажите, что точки A', B', C' лежат на одной прямой.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS