МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Комбинаторная геометрия (06.02.2010)

1.

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах клеток, две медианы которого перпендикулярны.

2.

Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными разрезами (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что среди этих квадратов есть два одинаковых.

3.

Докажите, что многоугольник, вершины которого расположены в узлах целочисленной решётки, а длины сторон — целые числа, имеет чётный периметр.

4.

Квадрат разрезали на равные прямоугольные равнобедренные треугольники. Сколько треугольников могло получиться?

5.

Из доски 8×8 вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать полученную фигуру?

6.

Правильный 1997-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Докажите, что среди них ровно один остроугольный.

7.

а)

На прямой расположены 2n + 1 отрезков. Любой из них пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

б)

На плоскости расположены [⁴/₃·n] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n другими. Докажите, что найдётся прямоугольник, пересекающийся со всеми остальными.