МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2009/2010 учебный год

Оценки углов (17.10.2009)

Основная проблема. На плоскости даны n точек A1, A2, …, An. Обозначим через α1, α2, … αN углы треугольников, образованных этими точками. Пусть α1 ≤ α2 ≤ … ≤ αN. Какие значения может принимать αk в зависимости от выбора n точек на плоскости?

1.
Решите основную проблему для n = 3.
2.
Решите основную проблему для k = 1 и любого n. При каком расположении точек достигается наибольшее значение α1?
3.
Решите основную проблему для n = 4, 5, 6, 7, 8 и k = 3 · C3n.
4.
Решите основную проблему для n = 4 и k = 2, k = 11.
5.
Докажите, что при всех n ≥ 2 min αk = 0° при 1 ≤ k ≤ n(n − 1)(n − 2)/3 и max αk = 180° при n(n − 1)(n − 2)/3 < k ≤ n(n − 1)(n − 2)/2.
6.
Решите для n = 4 и k = 1, 2, 11, 12 пространственную основную проблему (четыре точки выбираются в пространстве).
7.
При каком n а) на плоскости, б) в пространстве можно расположить n точек так, чтобы все образованные этими точками углы были не больше 90°?