МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2009/2010 учебный год

Тригонометрия (21.11.2009)

1.
Докажите, что при всех положительных x и y и при всех действительных α справедливо неравенство xsin2 α · ycos2 α < x + y.
2.
Решите уравнение sin x + cos x = tg x + ctg x.
3.
Известно, что tg α + tg β = p, ctg α + ctg β = q. Найдите tg(α + β).
4.
Даны пять попарно различных чисел a1, a2, a3, a4, a5. Докажите, что для некоторых i и j выполняется неравенство: .
5.
Найдите все углы α, при которых набор чисел sin α, sin 2α, sin 3α совпадает с набором cos α, cos 2α, cos 3α.
6.
Докажите, что при всех x таких, что 0 < x < π/3 выполняется неравенство sin 2x + cos x > 1.
7.
Каждую вершину выпуклого четырёхугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Получили четырёхугольник площади S'. Докажите, что S'/S < 3.
8.
Решите систему уравнений:
{ sin x+ 2 sin (x+y+z) =0
sin y+ 3 sin (x+y+z) =0
sin z+ 4 sin (x+y+z) =0