МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Математическая карусель (01.12.2007)

1.

Сколько можно составить треугольников из отрезков 2, 3, 4, 5, 6, 7?

2.

По окончании волейбольного турнира в два круга (любые две команды играют по два матча) оказалось, что 20% команд не одержали ни одной победы (ничьих в волейболе не бывает). Сколько всего игр было в этом турнире?

3.

Сколькими способами пятиклеточный крест можно расположить на доске 8×8 так, чтобы он располагался точно по клеткам доски и в пределах доски?

4.

Шахматист сыграл 40 партий и набрал в сумме 25 очков (победа - 1 очко, ничья - 1/2 очка, поражение - 0 очков). На сколько количество побед у него больше, чем поражений?

5.

Найдите наибольшее натуральное число, любые две последовательные цифры которого образуют точный квадрат.

6.

Сколько существует натуральных чисел, у которых любые две последовательные цифры образуют точный квадрат?

7.

Расставьте в квадрате 4×4 короля, 2-х ладей и 2-х слонов так, чтобы ни одна из этих фигур не била ни одну другую.

8.

В результате измерения четырех сторон и одной из диагоналей некоторого четырехугольника получились числа 15; 23; 36; 50; 72. Чему могла быть равна длина измеренной диагонали?

9.

От трёхзначного числа отняли сумму кубов его цифр. Какой наибольший результат мог при этом получиться?

10.

На какую наибольшую степень тройки делится произведение 1×11×111×…×1…1? (В последнем числе 24 единицы.)

11.

Сколько решений в целых числах имеет уравнение 200|x| + 4|y| = 2004?

12.

Натуральное число назовём тройным, если оно представимо в виде суммы трёх трёхзначных чисел abc+ bca+ cab, где a, b, c - различные ненулевые цифры. Сколько существует тройных чисел?

13.

Сколько в ХХI веке годов, которые представляются в виде суммы четырех различных натуральных степеней двойки?

14.

Решите уравнение .

15.

Какое наименьшее количество вершин может быть у выпуклого многоугольника, если известно, что число его диагоналей не равно 0 и делится на 2007?

16.

Один из углов прямоугольной трапеции равен 120 градусам, большее основание равно 12. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна её большему основанию.

17.

Найдите два натуральных числа с наименьшей возможной суммой таких, что сумма утроенного первого числа и упятерённого второго делится на 19, а остатки при делении на 19 у второго числа и у усемерённого первого различны.

18.

Какую длину может иметь несамопересекающийся путь по сторонам клеток из верхнего левого угла в нижний правый угол квадрата 8×8? (Укажите все варианты.)