МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 11. Развёртки и спрямления (02.02.2008)

1.

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна a.

2.

а)

Вспомните, как доказывается неравенство треугольника: длина любой из сторон треугольника меньше суммы длин двух других.

б)

Дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от нее. Найдите на прямой l точку X так, чтобы длина ломаной AXB была минимальна.

3.

Внутри прямого угла находятся бильярдные шары A и B. Постройте траекторию шара A, чтобы после двух отражений относительно сторон угла он попал в B, если это возможно.

4.

а)

Муха сидит в вершине деревянного куба. Как ей переползти в противоположную вершину, двигаясь по самому короткому пути?

б)

Муха сидит на внешней поверхности круглого стакана. Ей нужно перебраться в некоторую другую точку, лежащую на внутренней поверхности. Как ей это сделать, двигаясь по самому короткому пути?

5.

Вершины выпуклого четырехугольника лежат на различных сторонах квадрата. Докажите, что периметр этого четырехугольника не меньше 2V2a, где a - длина стороны квадрата.

6.

На гипотенузе прямоугольного треугольника вне его построен квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата, если сумма длин катетов треугольника равна m.

7.

Точка Торичелли. На сторонах остроугольного треугольника ABC внешним образом построены равносторонние треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Докажите что:

а)

отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ равны, а угол между любыми двумя из них равен 60°;

б)

три окружности, описанные около равносторонних треугольников, пересекаются в некоторой точке O;

в)

прямые AA₁, BB₁ и CC₁ также пересекаются в точке O;

г)

все стороны треугольника ABC видны из точки O под равными углами;

д)

точка O является той точкой плоскости, для которой сумма расстояний до вершин треугольника ABC принимает наименьшее значение.